Vojtech Jarnik 1993/4 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1993/4 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 19, 2016 10:51 pm

Να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ικανοποιεί τις ανισότητες

\displaystyle{ f(x) \leqslant x} και \displaystyle{ f(x+y) \leqslant f(x) + f(y)}

για κάθε x,y \in \mathbb{R}, τότε f(x) = x για κάθε x \in \mathbb{R}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 1993/4 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 19, 2016 11:27 pm

Demetres έγραψε:Να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ικανοποιεί τις ανισότητες

\displaystyle{ f(x) \leqslant x} και \displaystyle{ f(x+y) \leqslant f(x) + f(y)}

για κάθε x,y \in \mathbb{R}, τότε f(x) = x για κάθε x \in \mathbb{R}.
Έστω ότι για κάποιο a είναι f(a)< a. Τότε

f(2a) = f(a)+f(a) {\color {red}< }a + f(a)=a+f(2a+(-a))
\le a +f(2a)+f(-a) \le a +f(2a)+(-a) = f(2a). Άτοπο.

Μαζί με την f(a) \le a της υπόθεσης, έπεται f(a)=a για κάθε a.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες