Vojtech Jarnik 2014/1 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2014/1 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 20, 2016 4:23 pm

Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί z ώστε

\displaystyle{ |z^3 + 2 - 2i| + z \overline{z} |z| = 2\sqrt{2}}


nikkru
Δημοσιεύσεις: 336
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Vojtech Jarnik 2014/1 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Μαρ 26, 2016 12:08 am

Demetres έγραψε:Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί z ώστε

\displaystyle{ |z^3 + 2 - 2i| + z \overline{z} |z| = 2\sqrt{2}}
Αφού z \overline{z}=|z|^2, η δεδομένη παίρνει την μορφή:
|z^3 + 2 - 2i|+|z^3| = 2\sqrt{2}. Για z^3=w έχουμε: |w -(- 2 + 2i)|+|w-(0 + 0i)| = 2\sqrt{2}.
Η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών a=-2+2i και b=0+0i είναι 2\sqrt{2}, οπότε η εικόνα του μιγαδικού w διαγράφει το τμήμα
με άκρα τις εικόνες των μιγαδικών a και b, δηλαδή είναι w=-k+ki , 0 \leq  k \leq  2.
Άρα οι μιγαδικοί z είναι οι κυβικές ρίζες του μιγαδικού w, δηλ. z=\sqrt[6]{2k^2} \cdot \left(\cos \frac{3\pi +8n\pi}{12}+i \cdot \sin \frac{3\pi +8n\pi}{12} \right) με 0 \leq  k \leq  2 και n=0,1,2.
Οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα τρία τμήματα με κοινή αρχή το Ο.
1.png
1.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2014/1 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Σάβ Μαρ 26, 2016 2:39 am

Πολύ ωραία λύση! :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες