Vojtech Jarnik 1994/2 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1994/2 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 09, 2016 6:33 pm

Έστω πραγματικός p \neq 0. Να δειχθεί ότι οι ρίζες x_1,x_2 του πολυωνύμου

\displaystyle{x^2 - px - \frac{1}{2p^2} }

ικανοποιούν την ανισότητα

\displaystyle{ x_1^4 + x_2^4 \geqslant 2 + \sqrt{2}}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Vojtech Jarnik 1994/2 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Απρ 09, 2016 6:49 pm

Για να γλυτώσω τους δείκτες γράφω \displaystyle{a,b,} αντί για \displaystyle{x_1,x_2.}

Είναι

\displaystyle{a^2=pa+\frac{1}{2p^2}\implies a^4=p^2a^2+\frac{1}{4p^4}+\frac{a}{p}=p^2\left(pa+\frac{1}{2p^2}\right)+\frac{1}{4p^4}+\frac{a}{p}}

άρα

\displaystyle{a^4=\left(p^3+\frac{1}{p}\right)a+\frac{1}{4p^4}+\frac{1}{2}.}

Ομοίως έχουμε

\displaystyle{b^4=\left(p^3+\frac{1}{p}\right)b+\frac{1}{4p^4}+\frac{1}{2}}

και επομένως

\displaystyle{a^4+b^4\stackrel{a+b=p}{=}\left(p^3+\frac{1}{p}\right)p+\frac{1}{2p^4}+1=2+p^4+\frac{1}{2p^4}\stackrel{AM-GM}{\geq }2+\sqrt{2}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης