Vojtech Jarnik 1994/3 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1994/3 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 09, 2016 6:34 pm

Να δειχθεί για κάθε n \in \mathbb{N} ότι

\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{2^i} \right) < 3}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Vojtech Jarnik 1994/3 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Απρ 09, 2016 6:53 pm

Από την ανισότητα \displaystyle{1+x<e^x~~\forall x\ne 0} έχουμε

\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}\left(1+\frac{1}{2^i}\right)<\exp \left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\right)=e^{1-\frac{1}{2^n}}<e<3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 1994/3 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 09, 2016 7:25 pm

Διαφορετικά:

Θα δείξουμε επαγωγικά ότι

\displaystyle{ \prod_{i=1}^n \left(1 + \frac{1}{2^i} \right) \leqslant 3 - \frac{3}{2^{n}}}.

Πράγματι για n=1 έχουμε ισότητα. Επιπλέον αν ισχύει για n=k, τότε για n = k+1 έχουμε

\displaystyle{ \prod_{i=1}^{k+1} \left(1 + \frac{1}{2^i} \right) \leqslant \left(3 - \frac{3}{2^{k}}\right)\left( 1 + \frac{1}{2^{k+1}}\right) = 3 + \frac{3}{2^{k+1}} - \frac{3}{2^k} - \frac{3}{2^{2k+1}} = 3 - \frac{3}{2^{k+1}} - \frac{3}{2^{2k+1}}}

οπότε ισχύει και για n=k+1.

Ο ισχυρισμός και άρα και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Vojtech Jarnik 1994/3 Category I

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Απρ 09, 2016 7:46 pm

Ή αλλιώς:

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε


\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}\left(1+\frac{1}{2^i}\right)<\left(\frac{n+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}}{n}\right)^n=\left(\frac{n+1-\frac{1}{2^{n-1}}}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}

και είναι γνωστό ότι \displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<3.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες