Vojtech Jarnik 1994/4 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8237
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1994/4 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 09, 2016 6:36 pm

Να εξεταστεί αν υπάρχει μη σταθερή συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ώστε

\displaystyle{ (f(x) - f(y))^2 \leqslant |x-y|^3}

για κάθε x,y \in \mathbb{R}.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Vojtech Jarnik 1994/4 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Σάβ Απρ 09, 2016 6:55 pm

Η απάντηση είναι αρνητική. Από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι για κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}} με \displaystyle{x \ne y} είναι

\displaystyle{\left| {\frac{{f\left( y \right) - f\left( x \right)}}{{y - x}}} \right| \le {\left| {y - x} \right|^{\frac{3}{2}}},}

οπότε για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}} είναι \displaystyle{{\mathop {\lim }\limits_{y \to x} \frac{{f\left( y \right) - f\left( x \right)}}{{y - x}} = 0}.}

Έτσι, είναι \displaystyle{f'\left( x \right) = 0} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}} οπότε η \displaystyle{f} είναι σταθερή.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης