Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 09, 2016 7:44 pm

Έστω (όχι απαραίτητα αυστηρά) φθίνουσα συνάρτηση f:[1,\infty) \to (0,\infty) ώστε

\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \frac{f(2^{n+1})}{f(2^n)} < \frac{1}{2}.}

Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x < \infty}


Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Τρί Ιουν 21, 2016 3:29 pm

Εστω a_n=f(n) . Απο cauchy η \sum a_n \sim \sum 2^na_{2^n} . (αφου ειναι φθίνουσα)
Απο ratio test : lim b_{n+1}/b_n \leq \limsup b_{n+1}/{b_n} = 2 *\limsup f(2^n{+1})/f(2^n) < 1 αρα η σειρά a_n συγκινεί.
Κι απο κριτήριο ολοκληρωματος επεται το αποτέλεσμα.
τελευταία επεξεργασία από Zarifis σε Τρί Ιουν 21, 2016 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 21, 2016 4:40 pm

Ωραία! Διόρθωσε όμως λίγο και τα ορθογραφικά!

Να προσθέσω ότι η ακολουθία b_n στην πιο πάνω λύση είναι η ακολουθία b_n = 2^n a_n = 2^n f(n).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης