Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 16, 2016 4:03 pm

Να βρεθεί μία τριάδα ακεραίων x,y,z με x,y,z > 50 και x^2+y^2+z^2=3xyz.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Ιουν 16, 2016 5:20 pm

Demetres έγραψε:Να βρεθεί μία τριάδα ακεραίων x,y,z με x,y,z > 50 και x^2+y^2+z^2=3xyz.
Πρόκειται για την εξίσωση Markov την οποία έχουμε δει εδώ σε γενικότερη μορφή και η οποία απαντάει στο παραπάνω ερώτημα του διαγωνισμού αν ξεκινήσουμε από τη λύση (1,1,1) και πάρουμε τις άπειρες λύσεις που προκύπτουν από αυτή.

Την αντίστοιχη εξίσωση x^2+y^2+z^2=2xyz την είχαμε δει επίσης την ίδια περίοδο εδώ και ο Δημήτρης Χριστοφίδης έδωσε μια πολύ όμορφη απόδειξη της εικασίας του περί πολυωνύμων Chebyshev. Δημήτρη ελπίζω από τότε να έχεις χορτάσει ύπνο :lol:

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 16, 2016 5:52 pm

cretanman έγραψε:Δημήτρη ελπίζω από τότε να έχεις χορτάσει ύπνο :lol:
Όταν δεν είχα κάποιον ενδιαφέρον πρόβλημα που να με απασχολεί νυχτιάτικα...


Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Ιουν 17, 2016 1:46 am

Καλημέρα.
Είναι δυνατή άρα να την σπάσουμε σε 2 εξισώσεις...

x^2+y^2+z^2=3xyz
z(3xy-z)=x^2+y^2

Άρα ισοδύναμα έχω το παρακάτω σύστημα

3xy=z+w
x^2+y^2=zw

Βλέπω υπάρχει συμμετρία στα z,w .
Συνεπώς μια λύση (x,y,z) θα μου δώσει την (x,y,3xy-z) και τις μεταθέσεις τους άρα για κάθε κάτω φράγμα μπορώ να βρώ λύσεις ...Ας παίξω με την (2,1,1)->(2,1,5)->(5,2,1)->(5,2,29)->(29,5,2)->....


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarvik 1994/1 Category II

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιουν 17, 2016 11:12 am

Για να έχουμε και μια συγκεκριμένη τριάδα, συνεχίζοντας την συλλογιστική του Δημήτρη (ίδια με αυτήν στον σύνδεσμο του Αλέξανδρου) κατέληξα στην τριάδα x = 48928105, y = 37666, z=433.

Ο έλεγχος της ορθότητας αφήνεται στον αναγνώστη. :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης