IMC 1994/1/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/1/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 21, 2016 2:12 pm

Έστω \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\} και έστω γραμμικοί τελεστές F,G:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση \displaystyle{ F \circ G - G \circ F = \alpha F}

(α) Να δειχθεί ότι για κάθε k \in \mathbb{N} ισχύει η σχέση \displaystyle{ F^k \circ G - G \circ F^k = \alpha k F^k}

(β) Να δειχθεί ότι υπάρχει k \geqslant 1 ώστε F^k = 0.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 1994/1/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Ιουν 21, 2016 4:22 pm

Έστω F^k G - G F^k = \alpha k F^k.

Τότε ισχύει F^{k+1}G = F^kGF + F^k (FG - GF) = F^kGF + \alpha F^{k+1} =

= G F^k F + \alpha k F^k F + \alpha F^{k+1} = G F^{k+1} + \alpha (k+1) F^{k+1}. Αφού ισχύει για k=1 η επαγωγική απόδειξη είναι πλήρης.

Στους αντίστοιχους πίνακες F, G βλέπουμε ότι 0 = \mathrm{Tr}(F^k G - G F^k) = \alpha k \cdot \mathrm{Tr}(F^k). Αφού \mathrm{Tr}(F^k) = 0 για κάθε k \in \mathbb{N}^* ο F είναι μηδενοδύναμος.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1994/1/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 21, 2016 4:46 pm

Ωραία. Διαφορετικά για το (β) από την επίσημη λύση:

Ο τελεστής A \mapsto A \circ G - G \circ A είναι γραμμικός. Εφόσον δρα στο σύνολο των n \times n πινάκων θα έχει το πολύ n^2 διαφορετικές ιδιοτιμές. Αν όμως F^k \neq 0 για κάθε k, τότε ο τελεστής θα είχε τις άπειρες ιδιοτιμές \alpha,2\alpha,\ldots, άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης