IMC 1994/1/5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/1/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 21, 2016 2:16 pm

(α) Έστω συναρτήσεις f \in C[0,b] και g \in C(\mathbb{R}) με την g να είναι περιοδική με περίοδο b. Να δειχθεί ότι το
\displaystyle{ \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x} έχει όριο όταν το n τείνει στο άπειρο και

\displaystyle{\lim_{n \to \infty }  \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^b g(x) \, \mathrm{d}x }

(β) Να υπολογιστεί το

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_0^{\pi}  \frac{\sin{x}}{1 + 3\cos^2{(nx)}} \, \mathrm{d}x }


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 1994/1/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιουν 23, 2016 11:30 am

Demetres έγραψε:(α) Έστω συναρτήσεις f \in C[0,b] και g \in C(\mathbb{R}) με την g να είναι περιοδική με περίοδο b. Να δειχθεί ότι το
\displaystyle{ \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x} έχει όριο όταν το n τείνει στο άπειρο και

\displaystyle{\lim_{n \to \infty }  \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^b g(x) \, \mathrm{d}x }
Έχουμε \displaystyle  \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{kb}{n}}^{\frac{(k+1)b}{n}}f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x =

\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^b f \left( \frac{x+kb}{n} \right) g(x+kb) \, \mathrm{d}x =

\displaystyle = \frac{1}{b} \int_0^b \left( \frac{b}{n} \sum_{k=0}^{n-1}  f \left( \frac{x+kb}{n} \right) \right) g(x) \mathrm{d}x

Λόγω συνέχειας της f το άθροισμα Riemann στην παρένθεση τείνει στο \int_0^b f(t) \mathrm{d}t. Επιπλέον, λόγω της ομοιόμορφης συνέχειας της f και της συνέχειας της g η σύγκλιση στο g(x) \int_0^b f(t) \mathrm{d}t είναι ομοιόμορφη και έτσι επιτρέπεται η εναλλαγή ορίου-ολοκληρώματος.

Έτσι \displaystyle{\lim_{n \to \infty }  \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^b g(x) \, \mathrm{d}x
(β) Να υπολογιστεί το

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_0^{\pi}  \frac{\sin{x}}{1 + 3\cos^2{(nx)}} \, \mathrm{d}x }
Με βάση τα παραπάνω, το όριο είναι

\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \mathrm{d}x \int_0^{\pi} \frac{1}{1 + 3 \cos^2 x} \mathrm{d}x = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x}{3 + \sec^2 x} \mathrm{d}x =

\displaystyle = \frac{4}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{1}{4 + t^2} \mathrm{d}t = 1


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8586
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1994/1/5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 23, 2016 12:05 pm

Πολύ ωραία!

Το πρόβλημα θα ήταν πιο όμορφο αν άφηνε μόνο το (β). Για πρώτο διαγωνισμό όμως δικαιολογείται. Είναι καλό να έχουμε υπόψη το (α) σε περίπτωση που εμφανιστεί κάτι παρόμοιο του (β).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3316
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 1994/1/5

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 23, 2016 6:12 pm

Το α) είναι γνωστό.
Βρίσκεται σαν θεώρημα η άσκηση στα περισσότερα βιβλία Αρμονικής Ανάλυσης.
Μάλιστα οι υποθέσεις για τις συναρτήσεις είναι πολύ ασθενέστερες.
Αποδίδεται στον Fejer.
Το θεώρημα Riemann-Lebesgue
(οι συντελεστές Fourier μιας Lebesgue ολοκληρώσιμης συνάρτησης τείνουν στο μηδέν)
είναι άμεσο πόρισμα του.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης