IMC 1994/1/6

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/1/6

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 21, 2016 2:22 pm

Έστω f \in C^2[0,N] με |f'(x)| < 1 και f''(x) > 0 για κάθε x \in [0,N]. Έστω 0 \leqslant m_0 < m_1 < \cdots < m_k \leqslant N ακέραιοι ώστε οι n_i = f(m_i) για i=0,1,\ldots,k να είναι επίσης ακέραιοι. Για i=1,2,\ldots,k ορίζουμε b_i = n_i - n_{i-1} και a_i = m_i - m_{i-1}.

(α) Να δειχθεί ότι \displaystyle{ -1 < \frac{b_1}{a_1} < \frac{b_2}{a_2} < \cdots < \frac{b_k}{a_k} < 1}

(β) Να δειχθεί ότι για κάθε A > 1 δεν υπάρχουν περισσότεροι από N/A δείκτες j με a_j > A.

(γ) Να δειχθεί ότι k \leqslant 3N^{2/3}. [Δηλαδή δεν υπάρχουν περισσότερα από 3N^{2/3} ακέραια σημεία στην καμπύλη y = f(x) για x \in [0,N].]


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1394
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 1994/1/6

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Ιούλ 08, 2016 11:52 am

Για το (α), ανισότητες όπως η \displaystyle \frac{b_1}{a_1} < \frac{b_2}{a_2} αποδεικνύονται με ΘΜΤ (υπάρχουν \displaystyle \xi_1 \in (m_0,m_1), f'(\xi_1) = \frac{b_1}{a_1} και \displaystyle \xi_2 \in (m_1,m_2), f'(\xi_2) = \frac{b_2}{a_2} οπότε f'(\xi_1) < f'(\xi_2) αφού f''(x) > 0). Οι "ακριανές" ανισότητες είναι άμεση συνέπεια του |f'(x)| < 1.

Το (β) είναι συνέπεια του \displaystyle \sum_j a_j \leq N. Πράγματι, \displaystyle N \geq \sum_j a_j \geq \sum_{a_j \geq A} a_j \geq n A \implies n \leq N/A όπου n ο αριθμός των δεικτών j με a_j \geq A.

Το (γ) προφανώς ισχύει για N=1. Έστω N \geq 2.

Mπορούμε να έχουμε το πολύ 2A-2 δείκτες j με a_j = A, b_j \neq 0 (υπάρχουν 2A-2 μη μηδενικοί ρητοί με παρονομαστή A στο (-1,1)). Μαζί με τη μοναδική περίπτωση b_k = 0, έχουμε το πολύ \displaystyle 1 + \sum_{j=1}^{A} (2j-2) = A(A-1)+1 δείκτες με a_j \leq A.

Συμπεραίνουμε ότι ο συνολικός αριθμός των δεικτών (μαζί με τον πρώτο, m_0) φράσσεται άνω από το q(A) \equiv 2 + A(A-1) + N/(A+1) για κάθε A \in \mathbb{N}.

Ισχύει επίσης ότι φράσσεται άνω από το A^2 + 2N/A για κάθε A \geq 1. Αυτό επειδή, για N \geq 2, έχουμε A^2 + 2N/A \geq \max \left( q(A-1), q(A) \right) άρα, λόγω κυρτότητας της q, ισχύει A^2 + 2N/A \geq q(\lfloor A \rfloor).

Τέλος, θέτοντας A = N^{1/3}, έχουμε άνω φράγμα το 3N^{2/3} που ολοκληρώνει την απόδειξη.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης