IMC 2016/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2016/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:22 am

Έστω f:[a,b] \to \mathbb{R} συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Έστω ότι η f έχει άπειρες ρίζες αλλά δεν υπάρχει x στο (a,b) με f(x)=f'(x)=0.

(α) Να δειχθεί ότι f(a)f(b)=0.
(β) Να βρεθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης στο [0,1].



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1394
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2016/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:35 am

Από Bolzano-Weierstrass στο συμπαγές [a,b] προκύπτει ότι υπάρχει σημείο συσσώρευσης x_0 των ριζών της f στο [a,b] και, λόγω συνέχειας, f(x_0) = 0. Αν x_0 \in (a,b) τότε f'(x_0) = 0, που είναι άτοπο. Άρα x_0 \in \{ a, b \}, οπότε f(a) f(b) = 0. Ένα παράδειγμα στο [0,1] είναι η f(x) = x \sin (1/x), f(0) = 0.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης