Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Φεβ 13, 2010 5:34 pm

Μετα απο 3 ωρες γραψηματος, βαζω τα θεματα του φετινου διαγωνισμου επιλογης για τον seemous 2010.

1) Να εξετασετε αν:
α) Υπαρχουν γνησια αυξουσες συναρτησεις f,g: R --> R, ωστε f(x) - g(x) = sinx σε ολο το R
β) Υπαρχουν γνησια αυξουσες συναρτησεις f,g: R --> (0, +\infty), ωστε f(x) - g(x) = sinx σε ολο το R

2) Εστω πολυωνυμο p(x) = x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + 1 με θετικους συντελεστες και n πραγματικες ριζες, να δειχθει οτι:
α) a_1 \geq n και a_{n-1} \geq n
β) a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} \geq 2^n - 2, ποτε ισχυει η ισοτητα?
γ) {a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_{n-1}}^2 \geq \binom{2n}{n} - 2

3) Νδο \int_{0}^{+\infty}{\frac{\sqrt{(f'(x))^2 + 1}}{f(x)}dx} = +\infty, οταν f: [0, +\infty) ---> R^{+} ειναι συνεχως παραγωγισημη συναρτηση

4) Για τους θετικους ακεραιους {a_1, a_2, ... a_{2010}} ισχυει a_{i+1} + a_{i+2} + ... + a_{i+10} < 20 για καθε i \in {0, 10, 20, ... 2000}. Νδο υπαρχουν θετικοι ακεραιοι m, n, m<n ωστε a_m + a_{m+1} + ... + a_n = 201

5) Για εναν 2x2 πινακα A με στοιχεια ακεραιους αριθμους ισχυει det(A^3 + A^2 + A + I) = 1.
α) Να δειχθει οτι det(A+I) = 1.
β) Να βρεθουν οι δυνατες τιμες για τα detA, trA.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 13, 2010 6:39 pm

Άσκηση 1
(1α): Μπορούμε να πάρουμε g(x) = 2x και f(x) = 2x + \sin{x}.
(1β): Για κάθε θετικό ακέραιο k, πρέπει f(-(4k+1)\pi/2) \leqslant f(-(4k-1)\pi/2) και άρα g(-(4k+1)\pi/2) \leqslant g(-(4k-1)\pi/2)- 2 \leqslant g(-(4k-3)\pi/2) - 2. Είναι εύκολο τώρα να δειχθεί ότι η g δεν μπορεί να παίρνει μόνο θετικές τιμές.
Άσκηση 2
Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί το πολυώνυμο να έχει μη αρνητικές ρίζες. Άρα P(x) = (x+x_1) \cdots (x+x_n) όπου x_1,\ldots,x_n > 0. Παρατηρούμε επίσης ότι x_1 \cdots x_n =1. Από την ανισότητα AM-GM έχουμε a_k = \sum_{|S| = k} \prod_{i \in S} x_i \geqslant \binom{n}{k} \left( \prod_{|S| = k} \prod_{i \in S} x_i \right)^{1/{\binom{n}{k}}} = \binom{n}{k}. Από εδώ πιστεύω είναι γνωστό πως συνεχίζουμε.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Φεβ 13, 2010 7:28 pm

Άσκηση 5 α - Μια ιδέα
Κάνουμε παραγοντοποίηση μέσα στην ορίζουσα και καταλήγουμε \displaystyle{ 
\left| {{\rm A} + {\rm I}} \right|\left| {{\rm A}^2  + {\rm I}} \right| = 1 
}

όμως οι ορίζουσες είναι ακέραιοι αριθμοί, άρα πρέπει να είναι \displaystyle{ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\left| {{\rm A} + {\rm I}} \right| = 1}  \\ 
   {\left| {{\rm A}^2  + {\rm I}} \right| = 1}  \\ 
\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, 
}
ή \displaystyle{ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}c} 
   {\left| {{\rm A} + {\rm I}} \right| =  - 1}  \\ 
   {\left| {{\rm A}^2  + {\rm I}} \right| =  - 1}  \\ 
\end{array}} \right.\,\,\,\,\, 
} που απορρίπτεται
Θυμίστε μου τι συμβολίζουμε trA?
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Σάβ Φεβ 13, 2010 7:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Σάβ Φεβ 13, 2010 7:35 pm

trA είναι το ίχνος, δηλαδή ο συντελεστής του δεύτερου μεγιστοβάθμιου όρου στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Το δύσκολο με την 5 ήταν μόνο να αποδειχθεί γιατί απορρίπτεται η 2ρη περίπτωση για τις ορίζουσες.

Έλυσα 2.5 θέματα, (2ρο, 5το και 1το μισό) νομίζω είναι αρκετά για να με βάλουν ομάδα.

Καλή μας επιτυχία.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Φεβ 13, 2010 7:40 pm

Κώστα έχεις δίκιο, προσπαθώ να απορρίψω την δεύτερη περίπτωση και δεν βλέπω κάτι...

Σωστά ίχνος!! Το άθροισμα των στοιχείων στην διαγώνιο...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Σάβ Φεβ 13, 2010 7:44 pm

Να δώσω μια υπόδειξη όπως την έλυσα εγώ γιατί η επίσημη λύση είναι διαφορετική (και πιο εύκολη):
2 περιπτώσεις: Αν ο A έχει ιδιοτιμή πραγματική, και αν δεν έχει. Τι γίνεται με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τότε?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13013
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 13, 2010 7:56 pm

Καλή τύχη στα παιδιά και με βραβεία.

Υπόδειξη στην 3.

Weierstrass και χρήση του

{\frac{\sqrt{(p'(x))^2 + 1}}{p(x)}} \ge \frac  {c}{x}

για μη μηδενιζόμενα πολυώνυμα, όπου c σταθερά.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 13, 2010 8:17 pm

Άσκηση 4

Κοιτάμε τους εξής 4020 αριθμούς:

a_1,a_1 + a_2, \ldots, a_1 + \cdots + a_{2010} και a_1 + 201, a_1 + a_2 + 201, \ldots , a_1 + \cdots + a_{2010} + 201.

Είναι όλοι θετικοί ακέραιοι και μικρότεροι ή ίσοι από 201 \times 19 + 201 = 4020.

Αν είναι όλοι διαφορετικοί, κάποιος από αυτούς πρέπει να ισούται με 201 και πρέπει να είναι της μορφής a_1 + \cdots + a_r.

Αν δυο είναι ίσοι τότε θα έχουμε a_1 + \cdots + a_r = a_1 + \cdots + a_s + 201 για κάποια s < r και άρα a_{s+1} + \cdots + a_r = 201.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 13, 2010 8:39 pm

Κώστας Παππέλης έγραψε:γιατί η επίσημη λύση
Κώστα, μπορείς να μας δώσεις την επίσημη λύση για την (3); Από ότι βλέπω η λύση του Μιχάλη δεν χρησιμοποιεί ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιμη. Θα βάλω και εγώ αργότερα μια διαφορετική λύση (ελπίζω σωστή) που ούτε αυτή χρησιμοποιεί την συνθήκη.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Φεβ 13, 2010 8:46 pm

Η λύση μου για την (3) που μοιάζει με την επίσημη.
Αν η f<M είναι φραγμένη τότε το ολοκλήρωμα είναι μεγαλύτερο από
\dispalystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{f(x)}dx>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{M}=\infty}

Αν δεν είναι τότε υπάρχει υπακολουθία ώστε f(x_n)\to\infty

Τότε το ολοκλήρωμα είναι μεγαλύτερο από \int_{0}^{x_n}\frac{|f^{\prime}(x)|}{f(x)}dx=\ln f(x_n)-\ln f(0)=\infty

Στη λύση του κ.Λάμπρου δεν χρησιμοποιείται η συνέχεια της f' για το weirstrass ?


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Φεβ 13, 2010 9:51 pm

Kωστα μην ανισυχεις εσυ εισαι σιγουρα μεσα πιστευω. Εγω ελυσα τα 1,2 ολοσωστα, στο 5ο προσπαθησα ανεπιτυχως να δειξω οτι η περιπτωση να ειναι και οι 2 οριζουσες -1 απορριπτεται χρησημοποιοντας χαρακτηριστικα πολυωνυμα και Cayley-Hamilton (σε καποια φαση σκευτηκα και την μιγαδικη παραγοντοποιηση του Α^2 + Ι με το οποιο λυνοταν το προβλημα, αλλα δυστυχως δεν το εγραψα...), ενω στην εκπνοη του χρονου εγραψα καποιες πολυ βιαστικες ιδεες στα 3 και 4 (στο 4 εγραψα μονο την θεωρηση των μερικων αθροισματων, αλλα δεν νομιζω να πιασει κατι).

Πιστευω οτι ισως θα μπορουσα να γραψω κατι παραπανω αν ειχα ασχοληθει περισσοτερο με τα προβληματα 3 και 4, επηδη εχασα υπερβολικα πολυ χρονο (1 ωρα +) στο 1α... δεν πιστεψα ουτε στιγμη οτι θα ηταν τοσο απλο και εκατσα και εκανα μια κατασκευαστικη-επαγωγικη αποδειξη 2,5 σελιδων. Για την ακριβεια ορισα τις f και g ως 2sinx + Μ(Δ) και sinx + Μ(Δ) αντιστοιχα στα διαστηματα Δ οπου το sinx αυξανει και ως -sinx + M(Δ') και -2sinx + Μ(Δ') αντιστοιχα στα διαστηματα Δ' οπου το sinx φθινει, μετα αφου τις ορισα ετσι στο (-2π, 2π) και αφου θεωρησα οτι τις εχω ορισει σε ενα διαστημα (-2(ν-1)π, 2(ν-1)π) ωστε να ειναι φραγμενες, απλα επελεξα καταληλλα τα M(Δ) στο (-2πν, 2πν)/(-2(ν-1)π, 2(ν-1)) ωστε οι συναρτησεις αυτες με τις ζητουμενες ιδιοτητες να επεκταθουν στο (-2πν, 2πν) και να ειναι και σε αυτο το διαστημα φραγμενες ωστε να μπορεσει να συνεχιστει η επαγωγη. Ετσι οι συναρτησεις αυτες οριζονται σε ολο το R... Θυμιζει πραγματικα ταξιδι Ελλαδα-Βουλγαρια μεσω Κινας και χαθηκε 1 ολοκληρη ωρα για το τιποτα, για ενα ερωτημα του 2λεπτου που μπορουσε να απαντηθει και απο μαθητη Λυκειου :?


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 13, 2010 9:56 pm

smar έγραψε: Στη λύση του κ.Λάμπρου δεν χρησιμοποιείται η συνέχεια της f' για το weirstrass ?
Τώρα που το ξαναβλέπω έχεις δίκιο.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2781
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 13, 2010 10:50 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Κώστα έχεις δίκιο, προσπαθώ να απορρίψω την δεύτερη περίπτωση και δεν βλέπω κάτι...
1ος τρόπος:

Είναι \displaystyle{\det(A^2+I)=\det(I+iA)\overline{\det(I+iA)}=|\det(I+iA)|^2\geq 0} κ.τ.λ.,

οπότε \displaystyle{\det(A^2+I)=1} και \displaystyle{\det(A)+tr(A)+1=\det(A+I)=1}, όποτε \displaystyle{\det(A)=-tr(A)}.

Είναι

\displaystyle{\det(A^2+I)=\det \left(\begin{matrix} 
a^2+bc +1&b(a+d)\\ 
c(a+d)&bc+d^2+1\\ 
\end{matrix}\right)=\cdots=(\det(A)-1)^2+tr(A)^2}, κ.τ.λ.


2ος τρόπος:

Αν ο πίνακας \displaystyle{A} είναι μηδενικός τότε τελειώσαμε.
Διαφορετικά, ο \displaystyle{A} δεν είναι διαγώνιος κι άρα είναι όμοιος με ένα πίνακα της μορφής

\displaystyle{B=\left(\begin{matrix} 
0&b\\ 
c&d\\ 
\end{matrix}\right)}.

όπου \displaystyle{d=tr (A)}.

Είναι

\displaystyle{\det(B+I)=d+1-bc}

κι αφού

\displaystyle{B^2+I=\left(\begin{matrix} 
bc+1&bd\\ 
dc&bc+d^2+1\\ 
\end{matrix}\right)}

είναι \displaystyle{\det(B^2+I)=b^2c^2+2bc+d^2+1=(bc+1)^2+d^2\geq 0}.

Άρα \displaystyle{\det(B^2+I)=1}, και \displaystyle{d+1-bc=\det(B+I)=1}, οπότε \displaystyle{d=bc}.

'Ετσι \displaystyle{bc=-1} και d=-1 ή bc=0 και \displaystyle{d=0}.

Οπότε οι δυνατές τιμές για \displaystyle{\det(A)=\det(B)=-bc} είναι \displaystyle{1} ή \displaystyle{0} και για το \displaystyle{tr(A)=d} είναι \displaystyle{-1} ή \displaystyle{0}, αντίστοιχα.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τρί Φεβ 16, 2010 5:23 pm

Ελαβα και τα αποτελεσματα μεσω e-mail:

Η εξαμελής ομάδα, η οποία αναδείχθηκε μετά από το διαγωνισμό του Σαββάτου
13 Φεβρουαρίου, και θα εκπροσωπήσει την Ελλάδα στη φοιτητική μαθηματική
ολυμπιάδα SEEMOUS 2010 είναι

1) Ζαδίκ Ηλίας (Μαθηματικό ΕΚΠΑ)
2) Ηλιόπουλος Φώτης (ΗΜΜΥ ΕΜΠ)
3) Κολλιόπουλος Νικόλαος (ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ)
4) Μπραζίτικος Σιλουανός (Μαθηματικό ΕΚΠΑ)
5) Παναγιωτάκος Νικόλαος (Μαθηματικό ΕΚΠΑ)
6) Παππέλης Κωνσταντίνος (Ιατρική ΕΚΠΑ)

Καλη μας επιτυχια :)
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Τρί Φεβ 16, 2010 6:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Τρί Φεβ 16, 2010 6:24 pm

Συγχαρητηρια παιδιά.
Αξίζει να αναφερθεί ότι 4 απο τους 6 έχουμε λογαριασμό (αρκετά ενεργό) εδω στο mathematica!!
( Σιλουανός-smar, Νικος Κ. - Nick1990,Κώστας - Κώστας Παππέλης ,and me :) ) :logo:


dimitris pap
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris pap » Τρί Φεβ 16, 2010 6:41 pm

Συγχαρητήρια ρε παιδιά!!! :clap: Χαίρομαι πολύ για όλους σας, και είμαι βέβαιος ότι θα σκίσετε ;)

Υ.Γ. Ρε Κώστα παίζει να 'σαι ο πρώτος στα χρονικά που μπαίνει στην ομάδα Seemous από "ιατρική" :P


Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Τρί Φεβ 16, 2010 6:52 pm

χαχα ναι όντως... Άντε καλή μας επιτυχία... Χάρηκα πάρα πολύ που τα κατάφερα...


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 16, 2010 7:18 pm

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και καλή επιτυχία στην ολυμπιάδα. :clap2: :clap2:

Πότε θα διεξαχθεί η ολυμπιάδα;


Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Τρί Φεβ 16, 2010 7:25 pm

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά.


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Τρί Φεβ 16, 2010 7:36 pm

Συγχαρητήρια και από εμένα σε όλους και ιδιαίτερα στον Ηλία,το Νίκ(ναύπλιο...χαχαχα :lol: ),το Κώστα και το Σιλουανό...!!!

Καλή επιτυχία παιδιά...!!!!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης