Σύγκλιση ακολουθίας

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Σύγκλιση ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 16, 2016 3:38 pm

Δίνεται η ακολουθία (x_n) με x_0=0,x_1=1 και

\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{n+1}x_n + \left(1 - \frac{1}{n+1} \right)x_{n-1} }

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία (x_n) συγκλίνει και να υπολογιστεί το όριό της.

Επεξεργασία:

Πηγή (Διορθώθηκε): Από διαγωνισμό του Illinois του 2016 για πρωτοετείς φοιτητές. Δείτε εδώ.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Οκτ 16, 2016 9:08 pm

Εχουμε ότι
x_{n+1}-x_{n}=(-1)(1-\frac{1}{n+1})(x_{n}-x_{n-1})
Αν την εφαρμόσουμε διαδοχικά παίρνουμε

x_{n+1}-x_{n}=(-1)^{n}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{1}{n})....(1-\frac{1}{2})(x_{1}-x_{0})=(-1)^{n}\frac{1}{n+1}
Προσθέτοντας παίρνουμε ότι

x_{n}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}
Προφανώς συγκλίνει στο άθροισμα της σειράς \sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\frac{1}{k}

Αυτό είναι ln2

Ενας τρόπος να το δόυμε είναι ότι ο τύπος

ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\dfrac{x^{k}}{k}

ισχύει για x\epsilon (-1,1]
βάζοντας όπου x=1 παίρνουμε αυτό που θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 16, 2016 10:59 pm

Πολύ ωραία. Προστέθηκε και η πηγή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης