Πόσοι πίνακες;

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Πόσοι πίνακες;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 17, 2016 10:48 am

Πόσοι n \times n αντιστρέψιμοι πίνακες A υπάρχουν ώστε τα στοιχεία τόσο του A όσο και του A^{-1} να ανήκουν στο σύνολο \{0,1\};



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Πόσοι πίνακες;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Οκτ 17, 2016 12:11 pm

Έστω A κατάλληλος πίνακας. Αν A_{km} = 1 τότε (A^{-1})_{mk'} = 0 για κάθε k' \neq k (αλλιώς δε μπορεί το I_{kk'} να ισούται με 0).

'Αρα, κάθε στήλη n του πίνακα A πρέπει να περιέχει τουλάχιστον ένα 1 (αλλιώς ο I_{nn} δε μπορεί να είναι 1) και το πολύ ένα 1 (αλλιώς η αντίστοιχη γραμμή n του A^{-1} μηδενίζεται ολόκληρη). Ομοίως για τις γραμμές του A.

Κατά συνέπεια, ο A πρέπει να είναι της μορφής A_{km} = \delta_{m, p(k)}, όπου p μετάθεση του \{1, 2, ..., n \}.

Αντίστροφα, εύκολα διαπιστώνουμε ότι κάθε τέτοιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος με A^{-1} = A^T. Οπότε υπάρχουν n! τέτοιοι πίνακες.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πόσοι πίνακες;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 17, 2016 1:00 pm

Σωστά. Ήταν από διαγωνισμό του Τορόντο του 2005.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης