Putnam 1988/B4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8346
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 1988/B4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 26, 2016 11:15 pm

Να δειχθεί ότι αν η

\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}

είναι μια συγκλίνουσα σειρά θετικών αριθμών, τότε η

\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{n/(n+1)}}

είναι επίσης συγκλίνουσα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1410
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Putnam 1988/B4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Πέμ Οκτ 27, 2016 4:15 pm

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για τον αριθμό \displaystyle{{a_n}}:

\bullet Αν \displaystyle{{a_n} \le \frac{1}{{{2^{n + 1}}}},} τότε

\displaystyle{a_n^{\frac{n}{{n + 1}}} \le {\left( {\frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)^{\frac{n}{{n + 1}}}} = \frac{1}{{{2^n}}}.}

\bullet Αν \displaystyle{{a_n} \ge \frac{1}{{{2^{n + 1}}}},} τότε

\displaystyle{a_n^{\frac{n}{{n + 1}}} = a_n^{1 - \frac{1}{{n + 1}}} = \frac{{{a_n}}}{{a_n^{\frac{1}{{n + 1}}}}} \le \frac{{{a_n}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)}^{\frac{1}{{n + 1}}}}}} = 2{a_n}.}

Επομένως, για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει \displaystyle{a_n^{\frac{n}{{n + 1}}} \le 2{a_n} + \frac{1}{{{2^n}}}.}

Επειδή η σειρά \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {2{a_n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)} } συγκλίνει, από το Κριτήριο Σύγκρισης έπεται ότι και η σειρά \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n^{\frac{n}{{n + 1}}}} } συγκλίνει.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης