IMC 1995/1/5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/1/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 28, 2016 8:57 pm

Έστω n \times n πραγματικοί πίνακες A,B. Έστω επίσης n+1 διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί t_1,\ldots,t_{n+1} ώστε οι πίνακες C_i = A + t_iB να είναι μηδενοδύναμοι για κάθε 1 \leqslant i \leqslant n. (Δηλαδή C_i^n = 0.)

Να δειχθεί ότι οι A,B είναι επίσης μηδενοδύναμοι.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: IMC 1995/1/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Κυρ Μάιος 07, 2017 3:18 pm

Αφού ο C_i είναι nilpotent τότε όλες οι ιδιοτιμές είναι 0.Άρα
tr(A+t_iB)^j =0\ \forall j,i<n+2 , Αν υποθέσουμε ότι αυτά είναι πολυώνυμα ως προς το t τότε για κάθε δύναμη έχουμε n+1 ρίζες άρα ταυτίζεται με το μηδενικό πολυώνυμο (μέγιστη δύναμη το n), σε κάθε δύναμη ο πρώτος κι ο τελευταίο όρος είναι το trA^i , trB^i κι όλα είναι 0.
ξέρουμε πως όταν τα trA^i =trB^i\ \forall i τότε το χαρακτιριστικά πολυώνυμα είναι ίδια κι σε αυττή την περίπτωση ίδια με κάποιου nillpotent τάξεις n άρα είναι nillpotent.


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 1995/1/5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 07, 2017 3:43 pm

Πιο απλά(την έχω λύσει από καιρό άλλα ξέχασα να την δημοσιεύσω)

Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές πίνακες

f(t)=(A+tB)^{n}=A^{n}+.....+t^{n}B^{n}

Αφού f(t_{i})=0 , 1\leq i\leq n+1

το πολυώνυμο είναι το μηδενικό.

(το βλέπουμε παιρνώντας τα t μέσα στους πίνακες)

Αρα A^{n}=B^{n}=0

που δείχνει ότι οι πίνακες είναι μηδενοδύναμοι


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1995/1/5

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μάιος 08, 2017 3:43 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πιο απλά(την έχω λύσει από καιρό άλλα ξέχασα να την δημοσιεύσω)

Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές πίνακες

f(t)=(A+tB)^{n}=A^{n}+.....+t^{n}B^{n}

Αφού f(t_{i})=0 , 1\leq i\leq n+1

το πολυώνυμο είναι το μηδενικό.

(το βλέπουμε παιρνώντας τα t μέσα στους πίνακες)

Αρα A^{n}=B^{n}=0

που δείχνει ότι οι πίνακες είναι μηδενοδύναμοι
Πολύ ωραίο!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες