Putnam 2013/A3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7951
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2013/A3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 30, 2016 9:25 am

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a_0,a_1,\ldots,a_n και x με 0 < x < 1 οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση

\displaystyle{ \frac{a_0}{1-x} + \frac{a_1}{1-x^2} + \cdots + \frac{a_n}{1-x^{n+1}} = 0}

Να δειχθεί ότι υπάρχει 0 < y < 1 ώστε

\displaystyle{ a_0 + a_1y + \cdots + a_ny^n = 0}



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Putnam 2013.A3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Οκτ 31, 2016 10:16 pm

Έστω \displaystyle P(y) \equiv \sum_{k=0}^n a_k y^k.

Ισχύει ότι \displaystyle 0 = \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{1 - x^{k+1}} = \sum_{k=0}^{n} a_k \sum_{m=0}^{\infty} x^{(k+1)m} = \sum_{m=0}^{\infty} x^m  \sum_{k=0}^{n} a_k (x^m)^k = \sum_{m=0}^{\infty} x^m P(x^m) λόγω απόλυτης σύγκλισης.

Αν τα P(x^m), m > 0 δεν είναι όλα ομόσημα, το ζητούμενο αποδείχθηκε (είτε P(x^r) = 0 για κάποιο r είτε από Bolzano σε κάποιο διάστημα (x^{r+1}, x^r)). Διαφορετικά θα είναι όλα ετερόσημα με το P(1) και θα υπάρχει η ζητούμενη ρίζα στο (x,1).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης