Putnam 2016/A2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/A2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 01, 2017 1:06 pm

Αν n θετικός ακέραιος, ορίζουμε ως M(n) τον μεγαλύτερο ακέραιο m για τον οποίο

\displaystyle{\binom{m}{n-1}>\binom{m-1}{n}.}

Να υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{M(n)}{n}.}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3943
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2016/A2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Ιαν 02, 2017 12:00 am

\begin{aligned}\displaystyle\binom{m}{n-1}>\displaystyle\binom{m-1}{n} &\Leftrightarrow \dfrac{m!}{(n-1)!(m-n+1)!}>\dfrac{(m-1)!}{n!(m-n-1)!} \\ &\Leftrightarrow \dfrac{mn}{(m-n)(m-n+1)} > 1\end{aligned}

απ' όπου πρέπει m\geq n+1 κι έτσι καταλήγουμε στην ανίσωση m^2+(1-3n)m+n^2-n<0

Η αντίστοιχη δευτεροβάθμια ως προς m εξίσωση m^2+(1-3n)m+n^2-n=0 έχει μεγαλύτερη ρίζα την

\dfrac{3n-1+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2} (η οποία είναι μεγαλύτερη του n+1) κι έτσι M(n)=\left[\dfrac{3n-1+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2}\right] \ \ \color{red}(\star)

Όμως για το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού x ισχύει x-1 < [x]\leq x κι έτσι

\dfrac{3n-3+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2} < M(n) \leq \dfrac{3n-1+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2} απ' όπου παίρνουμε

\dfrac{3n-3+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2n} < \dfrac{M(n)}{n} \leq \dfrac{3n-1+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2n}

κι έτσι από ισοσυγκλίνουσες παίρνουμε εύκολα \displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{M(n)}{n}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

\color{red}(\star) Εάν τύχει ο αριθμητής να είναι άρτιος τότε \dfrac{3n-1+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2} \in\mathbb{N} και σε αυτή την περίπτωση M(n)=\left[\dfrac{3n-1+\sqrt{5n^2-2n+1}}{2}\right]-1 χωρίς όμως να αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης