Putnam 2016/A3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/A3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιαν 01, 2017 11:48 pm

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} η οποία ικανοποιεί την συνθήκη

\displaystyle{f(x)+f\left(1-\frac1x\right)=\arctan x}

για κάθε x \neq 0. Να υπολογιστεί το

\displaystyle{\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x.}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1410
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Putnam 2016/A3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Ιαν 02, 2017 3:53 pm

Θέτουμε \displaystyle{\varphi \left( x \right) = 1 - \frac{1}{x}} και παρατηρούμε ότι για \displaystyle{x \ne 0} και \displaystyle{x \ne 1} ισχύουν:

\displaystyle{{\varphi ^2}\left( x \right): = \left( {\varphi  \circ \varphi } \right)\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}}}

και

\displaystyle{{\varphi ^3}\left( x \right): = \left( {\varphi  \circ \varphi  \circ \varphi } \right)\left( x \right) = x.}

Η δοσμένη σχέση γράφεται, για \displaystyle{x \ne 0}:

\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {\varphi \left( x \right)} \right) = \arctan x} \bf \color{red} \left( 1 \right).

Θέτοντας διαδοχικά στην \bf \color{red} \left( 1 \right) όπου x το \displaystyle{{\varphi \left( x \right)}} και όπου x το \displaystyle{{\varphi ^2}\left( x \right)} βρίσκουμε ότι για \displaystyle{x \ne 0} και \displaystyle{x \ne 1} ισχύουν:

\displaystyle{f\left( {\varphi \left( x \right)} \right) + f\left( {{\varphi ^2}\left( x \right)} \right) = \arctan \varphi \left( x \right)} \bf \color{red} \left( 2 \right)

και

\displaystyle{f\left( {{\varphi ^2}\left( x \right)} \right) + f\left( x \right) = \arctan {\varphi ^2}\left( x \right)} \bf \color{red} \left( 3 \right).

Αφαιρώντας τη σχέση \bf \color{red} \left( 2 \right) από το άθροισμα των σχέσεων \bf \color{red} \left( 1 \right) και \bf \color{red} \left( 3 \right) προκύπτει άμεσα ο τύπος της \displaystyle{f}:

\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {\arctan x + \arctan \left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right) - \arctan \varphi \left( x \right)} \right]} \bf \color{red} \left( \bigstar \right).

Θα προσπαθήσουμε να εκμεταλλευτούμε τις συμμετρίες της \displaystyle{f} για να υπολογίσουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

Παρατηρούμε ότι για \displaystyle{x \in \left( {0,1} \right)} είναι:

\displaystyle{\arctan \left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right) = \frac{\pi }{2} - \arctan \left( {1 - x} \right),}

οπότε

\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\left[ {\arctan x - \arctan \left( {1 - x} \right) - \arctan \varphi \left( x \right)} \right]} \bf \color{red} \left( 4 \right).

Επίσης, είναι

\displaystyle{\varphi \left( {1 - x} \right) = 1 - \frac{1}{{1 - x}} = \frac{x}{{x - 1}} = \frac{1}{{\varphi \left( x \right)}},}

οπότε (αφού \displaystyle{\varphi \left( x \right) < 0} για \displaystyle{x \in \left( {0,1} \right)})

\displaystyle{\arctan \varphi \left( {1 - x} \right) = - \frac{\pi }{2} - \arctan \varphi \left( x \right).}

Θέτοντας, λοιπόν, όπου x το 1 -x στη σχέση \bf \color{red} \left( 4 \right), βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{f\left( {1 - x} \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\left[ {\arctan \left( {1 - x} \right) - \arctan x + \frac{\pi }{2} + \arctan \varphi \left( x \right)} \right] \Rightarrow }

\displaystyle{f\left( {1 - x} \right) = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{2}\left[ {\arctan \left( {1 - x} \right) - \arctan x + \arctan \varphi \left( x \right)} \right]} \bf \color{red} \left( 5 \right).

Από τις σχέσεις \bf \color{red} \left( 4 \right) και \bf \color{red} \left( 5 \right) προκύπτει ότι

\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{3\pi }}{4},}

οπότε

\displaystyle{\int_0^1 {f\left( x \right)dx = } \frac{1}{2}\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right)} \right]dx = } \boxed{\frac{{3\pi }}{8}}}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης