Putnam 2016/A5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/A5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιαν 02, 2017 2:19 pm

Έστω πεπερασμένη ομάδα G η οποία παράγεται από δύο στοιχεία g και h όπου το g έχει περιττή τάξη. Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της G μπορεί να γραφτεί στην μορφή

\displaystyle{g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\cdots g^{m_r}h^{n_r}}

όπου 1\leqslant r\leqslant |G| και m_1,n_1,m_2,n_2,\ldots,m_r,n_r\in\{1,-1\}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2016/A5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιαν 05, 2017 11:23 am

Ας το δείξουμε πρώτα χωρίς τον περιορισμό 1 \leqslant r \leqslant |G|.

Έστω 2m+1 η τάξη του G και k η τάξη του (gh). Άρα

g^{-1}h\underbrace{gh \cdots gh}_{k-1} = g^{-1}h(gh)^{-1} = g^{-2}.

Επαναλαμβάνοντας το ίδιο m φορές, παίρνουμε το g^{-2m} = g. Άρα μπορούμε να πάρουμε και το h = g(g^{-1}h). Επομένως μπορούμε να πάρουμε όποιο στοιχείο του G θέλουμε.

Μένει τώρα να το δείξουμε και με τον περιορισμό 1 \leqslant r \leqslant |G|.

Έστω λοιπόν x \in G και έστω ότι γράψαμε το x στην μορφή \displaystyle{g^{m_1}h^{n_1} \cdots g^{m_r}h^{n_r}} με m_i,n_j \in \{-1,1\} για κάθε 1 \leqslant i,j\leqslant r και με το r να είναι ελάχιστο. Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι r > |G|.

Θέτουμε x_1 = g^{m_1}, x_2 = g^{m_1}h^{n_1},\ldots,x_{2r} = g^{m_1}h^{n_1} \cdots g^{m_r}h^{n_r}. Είναι 2r \geqslant 2|G|+2 άρα τουλάχιστον ένα στοιχείο του G εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές στην ακολουθία x_1,\ldots,x_r. Οπότε εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές με δείκτη της ίδιας αρτιότητας. Τότε όμως υπάρχει ένα γινόμενο διαδοχικών g^{m_i},h^{m_j} με ίσο αριθμό από δυνάμεις του g και του h το οποίο ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο του G. Αγνοώντας αυτές τις δυνάμεις καταλήγουμε σε μια πιο σύντομη έκφραση για το x. Άτοπο, άρα r \leqslant |G|.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης