Putnam 2016/B1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/B1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 03, 2017 12:36 pm

Δίνεται ακολουθία x_0,x_1,x_2,\dots η οποία ορίζεται αναδρομικά ως x_0=1 και n\ge 0,

\displaystyle{x_{n+1}=\ln(e^{x_n}-x_n)} για n \geqslant 1.

Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά

\displaystyle{x_0+x_1+x_2+\cdots}

συγκλίνει, και να υπολογιστεί το άθροισμά της.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Putnam 2016/B1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 03, 2017 3:06 pm

Κάπου την έχω δει στο forum.
Την είχα λύσει αλλά δεν είχα γράψει την λύση.

Επειδή e^{x}> 1+x,x>0

και x_{0}=1

Επαγωγικά
βλέπουμε ότι x_{n}> 0

Από την x_{n}=e^{x_{n}}-e^{x_{n+1}}(1)

έχουμε ότι η ακολουθία είναι φθίνουσα.

Αφου είναι και κάτω φραγμένη συγκλίνει.

Κατά τα γνωστά το όριο της είναι ρίζα της x=ln(e^{x}-x)

Αρα συγκλίνει στο 0

Λόγω της (1) έχουμε\sum_{k=0}^{n}x_{k}=e^{x_{0}}-e^{x_{n+1}}\rightarrow e-1

Συμπλήρωμα.Εγραψα x_{0}=1 και προσέθεσα την λέξη επαγωγικά για να γίνει σαφέστερη η λύση.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Πέμ Μάιος 04, 2017 4:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2016/B1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 03, 2017 5:26 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Κάπου την έχω δει στο forum.
Την είχα λύσει αλλά δεν είχα γράψει την λύση.
Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε πότε μπήκε διότι τα προβλήματα του Putnam υποτίθεται είναι πρωτότυπα. Ο διαγωνισμός πάντως έγινε αρχές Δεκεμβρίου οπότε αν μπήκε μετά τότε η πηγή μάλλον θα ήταν ο Putnam.

Πάντως τουλάχιστον ένα από τα φετινά προβλήματα (από αυτά που ακόμη δεν μετέφερα εδώ) ήταν αρκετά γνωστό. (Τουλάχιστον σε εμένα.)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2904
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Putnam 2016/B1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 03, 2017 6:04 pm

Δημήτρη μάλλον έκανα λάθος.
Το μπέρδεψα με το
viewtopic.php?f=60&t=55757&p=268150#p268150


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης