Putnam 2016/B2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/B2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 03, 2017 12:48 pm

Λέμε ότι ένας θετικός ακέραιος n είναι τετραγωνοειδής αν είναι τέλειο τετράγωνο ή αν η διαφορά του από το κοντινότερό του τέλειο τετράγωνο είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. ο 2016 είναι τετραγωνοειδής επειδή το κοντινότερο τέλειο τετράγωνο του 2016 είναι το 45^2 = 2025 και επιπλέον το 2025-2016 = 9 είναι τέλειο τετράγωνο. (Από τους θετικούς ακεραίους από το 1 ως το 10, μόνο οι 6 και 7 δεν είναι τετραγωνοειδείς)

Για έναν θετικό ακέραιο N, έστω S(N) το άθροισμα των τετραγωνοειδών ακεραίων από το 1 ως το N συμπεριλαμβανομένων. Να βρεθούν θετικές σταθερές \alpha και \beta ώστε

\displaystyle{\lim_{N\to\infty}\frac{S(N)}{N^{\alpha}}=\beta,}

ή να δειχθεί πως τέτοιες σταθερές δεν υπάρχουν.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2016/B2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 21, 2017 12:49 pm

Ας το δούμε και αυτό.

Σε κάθε τετραγωνοειδή αριθμό αντιστοιχούμε το πλησιέστερό του τέλειο τετράγωνο. Ας δούμε πόσοι τετραγωνοειδείς αριθμοί αντιστοιχούν σε ένα τέλειο τετράγωνο:

Στο τέλειο τετράγωνο m^2 αντιστοιχούν μόνο τετραγωνοειδείς αριθμοί που ανήκουν στο σύνολο \{m^2-m+1,\ldots,m^2+m\} αφού ο m^2-m+1 είναι ο μικρότερος αριθμό που είναι πλησιέστερα στο m^2 παρά στο (m-1)^2 = m^2-2m+1 και επίσης ο m^2+m είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που είναι πλησιέστερα στο m^2 παρά στο (m+1)^2 = m^2+m+1.

Άρα στον m^2 αντιστοιχούν ακριβώς \displaystyle{a(m) = \lfloor \sqrt{m-1} \rfloor + 1 + \lfloor \sqrt{m} \rfloor } τετραγωνοειδείς αριθμοί. Οπότε

2\sqrt{m}-2 \leqslant a(m) \leqslant 2\sqrt{m}+1

Αν k^2 \leqslant N < (k+1)^2 τότε

\displaystyle{ a(1) + \cdots + a(k-1) \leqslant S(N) \leqslant a(1) + \cdots + a(k+1)}

Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες

\displaystyle{ \sqrt{1} + \cdots + \sqrt{k} \leqslant \int_1^{k+1} x^{1/2}\, \mathrm{d}x = \frac{2}{3}\left((k+1)^{3/2}-1\right) }

και

\displaystyle{ \sqrt{1} + \cdots + \sqrt{k} \geqslant \int_1^{k} x^{1/2}\, \mathrm{d}x = \frac{2}{3}\left(k^{3/2}-1\right) }

καταλήγουμε στα

\displaystyle{ S(N) \leqslant \frac{4}{3}\left((k+2)^{3/2}-1\right) -2k-2 \leqslant \frac{4}{3}(\sqrt{N}+2)^{3/2}}

και

\displaystyle{ S(N) \geqslant \frac{4}{3}\left((k-1)^{3/2}-1\right) + k+1 \geqslant \frac{4}{3}(\sqrt{N}-2)^{3/2}}

Άρα

\displaystyle{ \frac{S(N)}{N^{3/4}} = \frac{4}{3}}

δηλαδή τα \alpha,\beta υπάρχουν και ισούνται με \frac{3}{4} και \frac{4}{3} αντίστοιχα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης