Putnam 2016/B2
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2016/B2
Λέμε ότι ένας θετικός ακέραιος είναι τετραγωνοειδής αν είναι τέλειο τετράγωνο ή αν η διαφορά του από το κοντινότερό του τέλειο τετράγωνο είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. ο είναι τετραγωνοειδής επειδή το κοντινότερο τέλειο τετράγωνο του είναι το και επιπλέον το είναι τέλειο τετράγωνο. (Από τους θετικούς ακεραίους από το ως το , μόνο οι και δεν είναι τετραγωνοειδείς)
Για έναν θετικό ακέραιο έστω το άθροισμα των τετραγωνοειδών ακεραίων από το ως το συμπεριλαμβανομένων. Να βρεθούν θετικές σταθερές και ώστε
ή να δειχθεί πως τέτοιες σταθερές δεν υπάρχουν.
Για έναν θετικό ακέραιο έστω το άθροισμα των τετραγωνοειδών ακεραίων από το ως το συμπεριλαμβανομένων. Να βρεθούν θετικές σταθερές και ώστε
ή να δειχθεί πως τέτοιες σταθερές δεν υπάρχουν.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2016/B2
Ας το δούμε και αυτό.
Σε κάθε τετραγωνοειδή αριθμό αντιστοιχούμε το πλησιέστερό του τέλειο τετράγωνο. Ας δούμε πόσοι τετραγωνοειδείς αριθμοί αντιστοιχούν σε ένα τέλειο τετράγωνο:
Στο τέλειο τετράγωνο αντιστοιχούν μόνο τετραγωνοειδείς αριθμοί που ανήκουν στο σύνολο αφού ο είναι ο μικρότερος αριθμό που είναι πλησιέστερα στο παρά στο και επίσης ο είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που είναι πλησιέστερα στο παρά στο .
Άρα στον αντιστοιχούν ακριβώς τετραγωνοειδείς αριθμοί. Οπότε
Αν τότε
Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες
και
καταλήγουμε στα
και
Άρα
δηλαδή τα υπάρχουν και ισούνται με και αντίστοιχα.
Σε κάθε τετραγωνοειδή αριθμό αντιστοιχούμε το πλησιέστερό του τέλειο τετράγωνο. Ας δούμε πόσοι τετραγωνοειδείς αριθμοί αντιστοιχούν σε ένα τέλειο τετράγωνο:
Στο τέλειο τετράγωνο αντιστοιχούν μόνο τετραγωνοειδείς αριθμοί που ανήκουν στο σύνολο αφού ο είναι ο μικρότερος αριθμό που είναι πλησιέστερα στο παρά στο και επίσης ο είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που είναι πλησιέστερα στο παρά στο .
Άρα στον αντιστοιχούν ακριβώς τετραγωνοειδείς αριθμοί. Οπότε
Αν τότε
Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες
και
καταλήγουμε στα
και
Άρα
δηλαδή τα υπάρχουν και ισούνται με και αντίστοιχα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες