Putnam 2016/B3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/B3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 03, 2017 7:00 pm

Έστω πεπερασμένο σύνολο σημείων S στο επίπεδο ώστε για κάθε τρία σημεία A,B,C του S, το εμβαδόν του τριγώνου A,B,C να είναι το πολύ 1.

Να δειχθεί πως υπάρχει τρίγωνο εμβαδού 4 ώστε (μαζί με το εσωτερικό του) να περιέχει όλα τα σημεία του S.



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 541
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Putnam 2016/B3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιαν 03, 2017 7:52 pm

Επιλέγουμε λοιπόν τα τρία σημεία του S που να σχηματίζουν τριγωνο με το μέγιστο εμβαδόν. Αν τωρα φέρουμε τις παράλληλες απο τις κορυφές στις απέναντι πλευρές θα σχηματιστεί τριγωνο με τετραπλάσιο εμβαδόν απο το αρχικό. Θα αποδείξουμε οτι το τριγωνο που σχηματίστηκε περιέχει ολα τα σημεια του S.

Ας πάρουμε την κορυφή A του τριγώνου με το μέγιστο εμβαδόν. Αν φέρουμε την παράλληλη παρατηρούμε οτι απο την υποθεση μας δεν υπάρχουν σημεια του S πέρα απο την παράλληλη αφου τότε θα σχηματιζόταν τριγωνο με μεγαλύτερο εμβαδόν άτοπο. Το ζητούμενο τωρα ειναι προφανές.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1265
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Putnam 2016/B3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Ιαν 03, 2017 8:54 pm

Περίεργο που μπήκε αυτό το πρόβλημα στο διαγωνισμό. Είναι πολύ γνωστό και κλασικό. Το έχει ο Engel στα παραδείγματα στο extremal principle.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες