Putnam 2016/B4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7954
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2016/B4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιαν 03, 2017 9:45 pm

Έστω ένας 2n \times 2n πίνακας A. Τα στοιχεία του A επιλέγονται ανεξάρτητα στην τύχη με κάθε στοιχείο να ισούται είτε με 0 είτε με 1 κάθε ένα με πιθανότητα 1/2.

Να υπολογιστεί η προσδοκόμενη τιμή του \det(A-A^t).



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Putnam 2016/B4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Ιαν 21, 2017 12:16 pm

Για τον πίνακα D \equiv A - A^t ισχύει D_{mm} = 0 και, για m \neq k, (D_{mk}, D_{km}) = (0, 0) με πιθανότητα 1/2, (D_{mk}, D_{km}) = (1, -1) με πιθανότητα 1/4 και(D_{mk}, D_{km}) = (-1, 1) με πιθανότητα 1/4.

Θυμίζω ότι \displaystyle \det D = \sum_{p \in S_{2n}} (-1)^{k(p)} \prod_{i=1}^{2n} D_{i,p(i)} όπου k(p) = 0 για άρτια και k(p) = 1 για περιττή μετάθεση.

Έστω p \in S_{2n}. Θεωρούμε την προσδοκώμενη τιμή E(p) του όρου \displaystyle t = (-1)^{k(p)} \prod_{i=1}^n D_{i,p(i)}. Ισχύει \displaystyle \overline{D_{ab}} = 0, \overline{D_{ab} D_{ba}} = - 1/2 για a \neq b.

Αν η p έχει σταθερό σημείο k τότε \displaystyle t = (-1)^{k(p)} D_{kk} \cdot \prod_{i \neq k} D_{i,p(i)} = 0.

Επίσης, αν ισχύει p(k) = m και p(m) \neq k για κάποια m, k, τότε \displaystyle E(p) = (-1)^{k(p)} \overline{D_{km}} \cdot \overline{\prod_{i \neq k} D_{i,p(i)}} = 0.

Έτσι, περιοριζόμαστε στις μεταθέσεις που αποτελούνται από n εναλλαγές (το πλήθος τους είναι (2n-1)!!). Ισχύει \displaystyle E(p) = (-1)^n \overline{D_{m,p(m)} D_{p(m),m}} \cdot \overline{\prod_{i \neq m,p(m)} D_{i,p(i)}} = \frac{1}{2^n}.

Οπότε \displaystyle \overline{\det D} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}.

(Παρεμπιπτόντως, για πίνακα περιττής διάστασης δεν υπάρχει κατάλληλη μετάθεση και η αντίστοιχη τιμή είναι 0).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης