Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 21, 2017 12:14 pm

Έστω σύνολο X και έστω \mathcal{P}(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του X. Δίνεται επίσης συνάρτηση \mu:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X) με την ιδιότητα

\mu(A \cup B) = \mu(A) \cup \mu(B)

για κάθε A,B \in \mathcal{P}(X) τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους.

Να δειχθεί ότι υπάρχει υποσύνολο F του X για το οποίο να ισχύει ότι \mu(F)=F.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 21, 2017 7:35 pm

Demetres έγραψε:Έστω σύνολο X και έστω \mathcal{P}(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του X. Δίνεται επίσης συνάρτηση \mu:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X) με την ιδιότητα

\mu(A \cup B) = \mu(A) \cup \mu(B)

για κάθε A,B \in \mathcal{P}(X) τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους.

Να δειχθεί ότι υπάρχει υποσύνολο F του X για το οποίο να ισχύει ότι \mu(F)=F.
Πρώτα παρατηρούμε ότι η \mu διατηρεί την διάταξη καθώς αν A\subseteq B τότε τα A, B-A είναι ξένα με ένωση B. Άρα \mu (A) \subseteq  \mu (A) \cup \mu (B-A)= \mu (A \cup (B-A)) = \mu (B)

Τώρα, το σύνολο \{ A \in \mathcal{P}(X)  | A \supseteq \mu (A) \} είναι μη κενό, αφού περιέχει το X. Θέτουμε

K = \cap \{ A \in \mathcal{P}(X) | A \supseteq \mu (A) \} οπότε για κάθε A στο εν λόγω σύνολο είναι A \supseteq K , \, (*) και άρα από την διατήρηση της διάταξης A  \supseteq \mu (A) \supseteq \mu (K). Παίρνοντας τομή ως προς όλα αυτά τα A είναι K \supseteq \mu (K), \, (**) (αυτό σημαίνει ότι το K είναι στοιχείο του συνόλου από όπου προήλθε, αλλά δεν θα χρησιμοποιήσω αυτή την πληροφορία).

Από την (**) έπεται \mu (K) \supseteq \mu (\mu (K)) , \, (***) και άρα \mu (K) \in \{ A \in \mathcal{P}(X)| A \supseteq \mu (A) \}. Ειδικά από την (*) είναι \mu (K)  \supseteq K και άρα \mu (\mu (K))  \supseteq \mu (K) . Η τελευταία σε συνδυασμό με την (***) σημαίνει ότι το σύνολο L= \mu (K) ικανοποιεί την ζητούμενη \mu (L) = L.

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε εξ ίσου καλά να εργαστούμε με το \{ A \in \mathcal{P}(X)  | \mu (A)  \supseteq A \} που είναι μη κενό καθώς περιέχει το \emptyset και να θέσουμε K= \cup \{ A \in \mathcal{P}(X)  | \mu (A)  \supseteq A \} . Τα βήματα είναι παρόμοια αλλά με τα "περιέχεσθαι" ανεστραμμένα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 21, 2017 8:59 pm

Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος σταθερού σημείου των Knaster-Tarksi. Αυτό λέει ότι

Αν P ένα πλήρες μερικώς διατεταγμένο σύνολο και f:P \to P μια συνάρτηση η οποία διατηρεί την διάταξη, τότε η f έχει σταθερό σημείο.

Η απόδειξη είναι ουσιαστικά αυτή που έδωσε ο Μιχάλης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11143
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 21, 2017 10:03 pm

Demetres έγραψε:Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος σταθερού σημείου των Knaster-Tarksi.
Δημήτρη, ευχαριστούμε για την πληροφορία.

Δεν ήξερα το Θεώρημα Knaster-Tarksi, το οποίο πραγματικά είναι πολύ ενδιαφέρον ιδίως η γενίκευσή του για lattices. Με χρήση του google βρήκα στην wikipedia λίγα σχετικά

εδώ

Για τον ίδιο τον Tarski (1901-1983), ήξερα αρκετά. Ήταν πωλονοεβραίος που αλλαξοπίστισε σε Καθολικό και λίγο πριν τον πόλεμο μετακόμισε στην Αμερική όπου έκανε λαμπρή καριέρα. Νωρίτερα είχε αλλάξει το όνομά του από Teitelbaum σε Tarski. Είχε τεράστια συμβολή σε ευρύ φάσμα Μαθηματικών, και ιδίως Λογικής. Βλέπε λίγα εδώ.

Ήξερα την απίστευτη κατασκευή του με τον Banach για το λεγόμενο παράδοξο Banach-Tarski και ήξερα ένα αποτέλεσμά του στις Άλγεβρες Boole που κάποτε χρειάστηκα στην ερευνητική μου εργασία, αλλά και το παραπάνω διαμαντάκι με εντυπωσίασε άλλη μία φορά.

Ας προσθέσω ότι ο Tarski συχνά πυκνά πήγαινε σε Σχολεία να διδάξει Ευκλείδεια Γεωμετρία.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 21, 2017 10:54 pm

Ας δούμε τότε και αυτό εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης