SEEMOUS 2017/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2017/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:31 pm

Έστω πίνακας \displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}} με a,b,c,d \in \mathbb{R} και a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < \frac{1}{5}.

Να δειχθεί ότι ο A+I είναι αντιστρέψιμος.



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: SEEMOUS 2017/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Μαρ 05, 2017 2:16 pm

Demetres έγραψε:Έστω πίνακας \displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}} με a,b,c,d \in \mathbb{R} και a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < \frac{1}{5}.

Να δειχθεί ότι ο A+I είναι αντιστρέψιμος.
Είναι

|a|< \dfrac{1}{\sqrt{5}}, οπότε a+1>1-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}>\dfrac{1}{\sqrt{5}}

Ομοίως, d+1>\dfrac{1}{\sqrt{5}}

Συνεπώς, (a+1)(d+1)>\dfrac{1}{5}>|bc|\geq bc

κι άρα ο A+I έχει θετική ορίζουσα, οπότε αντιστρέφεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: SEEMOUS 2017/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 05, 2017 7:13 pm

Αλλιώς (η λύση του Αχιλλέα είναι σαφώς καλύτερη)

(\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | d \right |)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})4

Αρα

(\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | d \right |)<1

συμπεραίνουμε ότι \left \| A \right \|_{1}< 1

Είναι γνωστό ότι ο I+A είναι αντιστρέψιμος.

Αυτό οφείλετε στο ότι I-(-A)^{n}=(I+A)(I+(-A)+(-A)^{2}+....+(-A)^{n-1})

και \lim_{n\rightarrow \infty }A^{n}=0


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2017/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Κυρ Μαρ 05, 2017 7:41 pm

Άλλη μια λύση: Αν ο A+I δεν είναι αντιστρέψιμος τότε ο A έχει ιδιοτιμή το -1. Άρα υπάρχει ιδιοδιάνυσμα x=(u,v) ώστε Ax=-x που δίνει au+bv=-u και cu+dv=-v. Παρατηρούμε ότι \displaystyle{u^2+v^2=(au+bv)^2+(cu+dv)^2 \leq (a^2+b^2)(u^2+v^2)+(c^2+d^2)(u^2+v^2)} και διαιρώντας με u^2+v^2 \neq 0 παίρνουμε 1 \leq a^2+b^2+c^2+d^2<\frac{1}{5} που είναι άτοπο. Άρα ο A+I είναι αντιστρέψιμος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης