SEEMOUS 2017/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2017/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:36 pm

Έστω πραγματικοί n \times n πίνακες A,B.

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει a > 0 ώστε για κάθε \varepsilon \in (-a,a) με \varepsilon \neq 0 η εξίσωση

\displaystyle{ AX + \varepsilon X = B}

έχει μοναδική λύση X(\varepsilon) στους πραγματικούς n \times n πίνακες.

(β) Αν B^2 = I και ο A είναι διαγωνοποιήσιμος, να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \mathrm{Tr}(BX(\varepsilon)) = n - \mathrm{rank}(A)}



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2017/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Μαρ 05, 2017 7:49 pm

α. Αν 0 < |\epsilon| < |r|, όπου r η (απόλυτα) μικρότερη μη μηδενική ιδιοτιμή του Ar=1 αν αυτή δεν υπάρχει) τότε ο A+\epsilon I είναι αντιστρέψιμος και η εξίσωση έχει μοναδική λύση X=(A+ \epsilon I)^{-1} B.

β. Ισχύει \displaystyle \mathrm{tr}(BX) = \mathrm{tr} (B^2 (A+\epsilon I)^{-1} ) = \mathrm{tr} ((A+\epsilon I)^{-1}) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{r_k + \epsilon}, όπου r_k οι ιδιοτιμές του A. Έτσι, το όριο ισούται με την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 0. Αυτή είναι ίση (λόγω διαγωνιοποιήσιμου) με τη μηδενικότητα του A η οποία ισούται με το δεξί μέλος από το θεώρημα τάξης-μηδενικότητας.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες