Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8242
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 10, 2017 11:49 am

Λέμε ότι επεκτείνουμε μια ακολουθία θετικών ακεραίων (a_1,\ldots,a_n) αν την αντικαταστήσουμε με την ακολουθία

\displaystyle{ (1,2,\ldots,a_1,1,2,\ldots,a_2,\ldots,1,2,\ldots,a_n).}

Δηλαδή κάθε όρος k της αρχικής ακολουθίας αντικαθίσταται με την ακολουθία 1,2,\ldots,k-1.

Κάποιος ξεκινάει από την ακολουθία (1,2,\ldots,9) και την επεκτείνει 2017 φορές. Έπειτα, επιλέγει στην τύχη έναν όρο της ακολουθίας. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο όρος να ισούται με 1;

- Αν και δεν το τονίζει η άσκηση εννοείται ότι η επιλογή είναι ομοιόμορφα στην τύχη.
- Με μικρή αλλαγή στην διατύπωση το συγκεκριμένο πρόβλημα θα μπορούσε να μπει και σε διαγωνισμό μαθητών.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Vojtech Jarnik 2017/2 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μάιος 10, 2017 2:24 pm

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, μετά από k επεκτάσεις, έχουμε \displaystyle \binom{9-n+k}{9-n} αντίγραφα του ψηφίου n.

Για k=0 είναι \displaystyle \binom{9-n}{9-n} = 1 προφανές.

Μετά από κάθε επέκταση το ψηφίο μας θα υπάρχει μία φορά για κάθε φορά που εμφανιζόταν ένα ψηφίο τουλάχιστον ίσο με αυτό στην προηγούμενη επέκταση. Έτσι, \displaystyle \sum_{i=n}^9 \binom{9-i+k}{9-i} = \sum_{i=n}^9 \binom{9-i+k}{k} = \binom{9-n+k+1}{k+1} = \binom{9-n+k+1}{9-n} και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

Έτσι, μετά από 2017 επεκτάσεις θα έχουμε \displaystyle \binom{2025}{8} ψηφία 1. Συνολικά, τα ψηφία θα είναι όσα και τα 1 μετά από 2018 επεκτάσεις, δηλαδή \displaystyle \binom{2026}{8}. Οπότε η πιθανότητα είναι \displaystyle \frac{\binom{2025}{8}}{\binom{2026}{8}} = \frac{2018}{2026} = \frac{1009}{1013}.

Γενικά, μετά από k επεκτάσεις, η πιθανότητα είναι \displaystyle \frac{k+1}{k+9}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης