IMC 2007/1/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2007/1/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 22, 2017 2:32 pm

Έστω πεπερασμένη ομάδα G. Αν U,V,W υποσύνολα της G, γράφουμε N_{UVW} για το πλήθος των τριάδων (x, y, z) \in U \times V \times W για τις οποίες xyz = 1_G.

Έστω τρία υποσύνολα A,B,C τα οποία διαμερίζουν την G. Να δειχθεί ότι N_{ABC} = N_{CBA}.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2007/1/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:33 pm

Έστω K, L, M \subseteq G. Ορίζουμε K \times L_M \equiv \{(k,l) \in K \times L: kl \in M^{-1} \}. Τότε, το ζητούμενο γράφεται ως |A \times B_C| = |B \times A_C|.

Λόγω διαμέρισης έχουμε \displaystyle \bigcup_{i \in \{A, B, C \}} A \times B_i = A \times B και i \cap j = \O \implies (A \times B_i) \cap (A \times B_j) = \O \ \ (1) (και ομοίως για το B \times A).

Ισχύει ότι (x,y) \in A \times B_A \Leftrightarrow \left( y, (xy)^{-1} \right) \in B \times A_A και (x,y) \in A \times B_B \Leftrightarrow \left( (xy)^{-1}, x \right) \in B \times A_B. Παρατηρούμε ότι τα αντίστοιχα διατεταγμένα ζεύγη είναι μονοσήμαντες συναρτήσεις το ένα του άλλου. Έτσι, έπεται |A \times B_A| = |B \times A_A| και |A \times B_B| = |B \times A_B|.

Aπό την (1) και το πεπερασμένο της G έπεται ότι |A \times B_C|=|B \times A_C|.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης