IMC 2017/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2017/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 02, 2017 7:08 pm

Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί \lambda, για τους οποίους υπάρχει θετικός ακέραιος n, και πραγματικός n\times n πίνακας A, ώστε A^2=A^T και το \lambda να είναι ιδιοτιμή του A.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2017/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 03, 2017 3:33 pm

Αφού A^2 = A^T \implies A^4 = (A^T)^2 = A, ισχύει (για τις ιδιοτιμές \lambda του A) \lambda^4 = \lambda \implies \lambda \in \{ 0, 1, \mathrm{e}^{\pm 2 \pi \mathrm{i} / 3} \}.

Λόγω του πίνακα

\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 
0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 
0 & 0 & - \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} 
\end{array} \right)

(που έχει την ιδιότητα της εκφώνησης και ιδιοτιμές τους τέσσερεις προαναφερθέντες αριθμούς) διαπιστώνουμε ότι και οι τέσσερις πιθανές ιδιοτιμές είναι κατάλληλες.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης