IMC 2017/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2017/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 02, 2017 7:11 pm

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\to(0,\infty), και έστω ότι υπάρχει σταθερά L>0 ώστε

\displaystyle{|f'(x)-f'(y)|\leqslant L|x-y|}

για κάθε x,y \in \mathbb{R}. Να αποδειχθεί ότι

(f'(x))^2<2Lf(x)

για κάθε x \in \mathbb{R}.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2017/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Αύγ 04, 2017 5:42 pm

Αφού η f' είναι Lipschitz, είναι και συνεχής. Έστω τυχαίο σημείο x_0 \in \mathbb{R}.

Για t \geqslant x_0 ισχύει \displaystyle f'(t) \leqslant f'(x_0) + L (t - x_0). Ολοκληρώνοντας από x_0 ως x \geqslant x_0 παίρνουμε \displaystyle 0 < f(x) \leqslant \frac{1}{2} L (x - x_0)^2 + f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0).

Ομοίως, για t < x_0 ισχύει \displaystyle f'(t) \geqslant f'(x_0) + L (t - x_0). Ολοκληρώνοντας από x_0 ως x < x_0 παίρνουμε \displaystyle 0 < f(x) \leqslant \frac{1}{2} L (x - x_0)^2 + f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0).

Έτσι, το τριώνυμο \displaystyle \frac{1}{2} L (x - x_0)^2 + f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0) παίρνει πάντα θετικές τιμές και συνεπώς έχει αρνητική διακρίνουσα, οπότε \displaystyle f'(x_0)^2 < 2 L f(x_0). Αφού το x_0 είναι τυχαίο σημείο, αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης