IMC 2017/2/1
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2017/2/1
Έστω συνεχής συνάρτηση ώστε . (Το όριο υπάρχει και επιτρέπεται να είναι πεπερασμένο ή άπειρο.) Να δειχθεί ότι
Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση του θέματος. Ευχαριστώ τον Σιλουανό που παρατήρησε εγκαίρως ότι ανάρτησα το περσινό!
Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση του θέματος. Ευχαριστώ τον Σιλουανό που παρατήρησε εγκαίρως ότι ανάρτησα το περσινό!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: IMC 2017/2/1
Αν και νομίζω ότι υπάρχει πιο απλός τρόπος, (έχω την εντύπωση ότι κάπου κάνω κύκλους στη συλλογιστική μου) θα επιχειρήσω μια λύση.
Έχουμε και λέμε:
,
όπου στην 1η ισότητα εφαρμόζουμε αλλαγή μεταβλητής και στη 2η σπάμε το διάστημα [0,n] στα επιμέρους διαστήματα μήκους 1.
Από το ΘΜΤ του Ολοκληρωτικού Λογισμού, υπάρχει , τέτοιο ώστε: , για . Παρατηρούμε επίσης από θεώρημα παρεμβολής ότι καθώς .
Άρα: , το οποίο όμως από γνωστά θεωρήματα (πχ Cesaro-Stolz) έχει την ίδια οριακή συμπεριφορά με το , το οποίο τείνει στο , από την αρχή μεταφοράς.
Έχουμε και λέμε:
,
όπου στην 1η ισότητα εφαρμόζουμε αλλαγή μεταβλητής και στη 2η σπάμε το διάστημα [0,n] στα επιμέρους διαστήματα μήκους 1.
Από το ΘΜΤ του Ολοκληρωτικού Λογισμού, υπάρχει , τέτοιο ώστε: , για . Παρατηρούμε επίσης από θεώρημα παρεμβολής ότι καθώς .
Άρα: , το οποίο όμως από γνωστά θεωρήματα (πχ Cesaro-Stolz) έχει την ίδια οριακή συμπεριφορά με το , το οποίο τείνει στο , από την αρχή μεταφοράς.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC 2017/2/1
Βεβαίως. Η άσκηση είναι μάλλον απλή για τέτοιο διαγωνισμό:fdns έγραψε:Αν και νομίζω ότι υπάρχει πιο απλός τρόπος
Για , έστω . Υπάρχει τέτοιο ώστε για είναι
. Άρα για έχουμε
για αρκούντως μεγάλο .
Και λοιπά. Ανάλογα και η περίπτωση .
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Αύγ 06, 2017 12:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2017/2/1
Χμμ.. νομίζω πως αν κάνουμε τη αλλαγή μεταβλητής και χρησιμοποιήσουμε την "ισχυρή μορφή του DLH" τότε βγάζουμε το αποτέλεσμα αφού μετά την εφαρμογή του κανόνα θα έχουμε .
Δεν έχω κοιτάξει τις τεχνικές λεπτομέρεις οπότε ελπίζω μην κάνω λάθος.
Δεν έχω κοιτάξει τις τεχνικές λεπτομέρεις οπότε ελπίζω μην κάνω λάθος.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: IMC 2017/2/1
Άλλη μια ιδέα για πεπερασμένο όριο.
Γράφουμε,
Θα δείξουμε ότι , όπου η συνεχής
με ικανοποιεί την . Θεωρούμε την πραγματική ακολουθία
. Έστω . Εφ' όσον
υπάρχει ώστε . Για το , υπάρχει
με , οπότε για κάθε ισχύει
Συνεπώς και άρα
όπως θέλαμε.
Γράφουμε,
Θα δείξουμε ότι , όπου η συνεχής
με ικανοποιεί την . Θεωρούμε την πραγματική ακολουθία
. Έστω . Εφ' όσον
υπάρχει ώστε . Για το , υπάρχει
με , οπότε για κάθε ισχύει
Συνεπώς και άρα
όπως θέλαμε.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC 2017/2/1
Βαγγέλη, ας παρατηρηθεί ότι δεν πρόκειται για άλλη ιδέα αλλά ουσιαστικά είναι ακριβώς η ίδια λύση με μόνη διαφορά ότι είναι διατυπωμένη/ντυμένη με άλλα λόγια (τα περισσότερα από τα οποία είναι και περιττά).BAGGP93 έγραψε:Άλλη μια ιδέα
Για παράδειγμα στο βήμα
έσπασες το ολοκλήρωμαBAGGP93 έγραψε: .
σε επιμέρους κομμάτια/προσθετέους για να τα ξανακολλήσεις στο βήμα
Με άλλα λόγια το βήμα αυτό είναι περιττό, αφού μπορούσες να εργαστείς απευθείας με το χωρίς το κόπο να το κόψεις και να το ξαναράψεις. Ο απευθείας τρόπος, όπως στην δική μου λύση, κάνει ακριβώς τα ίδια βήματα, χωρίς τα περιττά.BAGGP93 έγραψε:
Και στα άλλα βήματα, αν βγάλεις τα περιττά, ξαναέρχεσαι στην λύση που έγραψα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC 2017/2/1
Ας δούμε λύση με l' Hospital. Προσθέτω ότι με ένα μικρό τέχνασμα μπορούμε να αποφύγουμε την ισχυρή μορφή, μια και είναι εκτός ύλης.Tolaso J Kos έγραψε:Χμμ.. νομίζω πως αν κάνουμε τη αλλαγή μεταβλητής και χρησιμοποιήσουμε την "ισχυρή μορφή του DLH" τότε βγάζουμε το αποτέλεσμα αφού μετά την εφαρμογή του κανόνα θα έχουμε .
Εξετάζοντας την στην θέση της , αν χρειαστεί, μπορούμε να υποθέσουμε ότι . Επίσης, χωρίς βλάβη . Τότε (παίρνω αντί ) είναι οπότε από l' Hospital
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες