IMC 2017/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2017/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 04, 2017 3:45 pm

Ορίζουμε ακολουθία πινάκων A_1,A_2,\ldots με την ακόλουθη αναδρομική σχέση:

\displaystyle{ A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad A_{n+1} = \begin{pmatrix} A_n & I_{2^n} \\ I_{2^n} & A_n \\ \end{pmatrix} \quad (n=1,2,\ldots)}

όπου I_m είναι ο m\times m ταυτοτικός πίνακας.

Να δειχθεί ότι ο A_n έχει n+1 διακεκριμένες ακέραιες ιδιοτιμές \lambda_0< \lambda_1<\ldots <\lambda_n με πολλαπλότητες \binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}, αντίστοιχα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2017/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Αύγ 15, 2017 11:44 am

Για ένα διάνυσμα v = (v_1,\ldots,v_k), θα γράφουμε v^+ = (v_1,\ldots,v_k,v_1,\ldots,v_k) και v^- = (v_1,\ldots,v_k,-v_1,\ldots,-v_k).

Παρατηρούμε ότι αν το v είναι ιδιοδυάνυσμα του A_n με ιδιοτιμή \lambda, τότε το v^+ είναι ιδιοδυάνυσμα του A_{n+1} με ιδιοτιμή \lambda+1, και το v^- είναι ιδιοδυάνυσμα του A_{n+1} με ιδιοτιμή \lambda-1.

Επίσης, αν τα v_1,\ldots,v_r είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε και τα v_1^+,v_1^-,\ldots,v_r^+,v_r^- είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα. Πράγματι αν

\displaystyle{ \lambda_1^+v_1^+ + \lambda_1^-v_1^- + \cdots + \lambda_r^+v_r^+ + \lambda_r^-v_r^- = 0}

τότε, κοιτώντας το πρώτο μισό κομμάτι των διανυσμάτων, από την γραμμική ανεξαρτησία των v_i θα πρέπει να έχουμε

\displaystyle{\lambda_1^+ + \lambda_1^- = \cdots =  \lambda_r^+ + \lambda_r^- = 0}

Κοιτώντας το δεύτερο μισό θα πρέπει επίσης να έχουμε και

\displaystyle{\lambda_1^+ - \lambda_1^- = \cdots =  \lambda_r^+ - \lambda_r^- = 0}

Από αυτά παίρνουμε ότι όντως τα v_1^+,v_1^-,\ldots,v_r^+,v_r^- είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Επομένως αν \lambda_1,\ldots,\lambda_{2^n} είναι με πολλαπλότητα οι ιδιοτιμές του A_{n-1}, τότε οι ιδιοτιμές του A_n είναι οι \lambda_1-1,\lambda_1+1,\ldots,\lambda_{2^n}-1,\lambda_{2^n}+1.

Οι ιδιοτιμές του A_1 είναι οι -1 και 1 με πολλαπλότητα 1 η κάθε μία. Επαγωγικά τώρα παίρνουμε ότι οι ιδιοτιμές του A_n είναι οι \lambda_0 < \cdots < \lambda_n όπου \lambda_k = -n+2k με πολλαπλότητα \binom{n+1}{k}.

Πράγματι για το επαγωγικό βήμα παίρνουμε ότι ο A_{n+1} θα έχει την ιδιοτιμή -(n+1) + 2k = -n+2k-1 = -n+2(k-1)+1 με πολλαπλότητα

\displaystyle{ \binom{n+1}{k} + \binom{n+1}{k-1} = \binom{n+2}{k}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες