IMC 2017/2/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2017/2/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 04, 2017 3:50 pm

Έστω f_1,f_2,\ldots :[0,1)\to \mathbb{R} ακολουθία συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων η οποία ορίζεται από την αναδρομική σχέση

\displaystyle{ f_1=1, \quad f_{n+1}'=f_nf_{n+1} } στο (0,1) \quad, και \quad f_{n+1}(0)=1.

Να δειχθεί ότι το \lim\limits_{n\to \infty}f_n(x) υπάρχει για κάθε x\in [0,1) και να βρεθεί το όριο.



Λέξεις Κλειδιά:
fdns
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 13, 2012 3:46 pm

Re: IMC 2017/2/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fdns » Κυρ Αύγ 06, 2017 12:32 pm

Πολλαπλασιάζουμε την αναδρομική με την ποσότητα: \displaystyle{e^{-\int_{0}^{x}f_n (t)\, \mathrm{d} t}} και αφού χρησιμοποιήσουμε την αρχική συνθήκη, έχουμε ότι: \displaystyle{f_{n+1}(x)=e^{\int_{0}^{x}f_n (t)\, \mathrm{d} t}} , για x\in [0,1) . (παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι θετική)

Θα δείξουμε ότι η ακολουθία \{ f_n\} συγκλίνει κατά σημείο. Αρχικά παρατηρούμε ότι: \displaystyle{f_2 (x)=e^x\geq 1= f_1 (x)} και επαγωγικά έπεται άμεσα ότι η ακολουθία των συναρτήσεων είναι αύξουσα. Ορίζουμε \displaystyle{f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n (x)} στο [0,1) η οποία είναι μετρήσιμη συνάρτηση ως όριο μετρήσιμων.

Μπορούμε μάλιστα να δείξουμε ότι η ακολουθία \{ f_n\} είναι άνω φραγμένη. Υποπτευόμαστε ότι η f θα ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση g'=g^2 η οποία, λόγω της αρχικής συνθήκης, έχει μοναδική λύση, την \frac{1}{1-x} . Παρατηρούμε ότι f_1 (x)=1\leq\frac{1}{1-x} . Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι f_n (x)\leq\frac{1}{1-x}, άρα: f(x)\leq\frac{1}{1-x}<+\infty .

Από το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης του Lebesgue, μπορούμε να περάσουμε το όριο μέσα από το ολοκλήρωμα (για σταθερό x\in [0,1) ), και έτσι έχουμε ότι: \displaystyle{f(x)=e^{\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t}} .

Το ολοκλήρωμα Lebesgue \displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t} της f είναι συνεχής συνάρτηση του x και άρα, λόγω της ισότητας \displaystyle{f(x)=e^{\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t}} , έχουμε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση και άρα το ολοκλήρωμά της είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σε όλο το [0,1) .

Συνεπώς έχουμε ότι: \displaystyle{\left( e^{-\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t} \right) ' =-1} από την οποία, εφαρμόζοντας την αρχική συνθήκη f(0)=1 , έχουμε τελικά ότι \displaystyle{f(x)=\frac{1}{1-x}} στο [0,1)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης