Συναρτησιακή σχέση στους φυσικούς

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Συναρτησιακή σχέση στους φυσικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Αύγ 09, 2017 2:56 pm

Μία κατασκευή.
Έστω \mathbb{N}=\left \{ 1,2,3,\ldots  \right \}. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για τις οποίες, για κάθε m\in \mathbb{R} και για κάθε n\in \mathbb{N} ισχύει:
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(mk)=f\left ( \frac{n^{2}+n}{2} \right )f(m)}
Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι για κάθε m\in \mathbb{R} και για κάθε n\in \mathbb{N} ισχύει f(mn)=nf(m).
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1302
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Συναρτησιακή σχέση στους φυσικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Αύγ 09, 2017 4:08 pm

Ευτυχώς είχα προλάβει και είχα δει το ποστ εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 19p8663224
Το παραθέτω για να μην φάνε και άλλοι το χρόνο τους, ψάχνοντας να προσδιορίσουν όλες τις λύσεις.

Ένα ακόμη σχόλιο. Όταν γράφεις κατασκευή, πιστεύει ο άλλος ότι έχεις και λύση για το πρόβλημα. Παρατηρώ ότι πολλές φορές αυτό δεν ισχύει. Αν όντως σκέφτηκες ένα πρόβλημα αλλά δεν έχεις λύση, καλό είναι να το γνωστοποιείς.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8545
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή σχέση στους φυσικούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 11, 2017 11:46 pm

Την μετέφερα στους φοιτητές. Τώρα έχουμε και άλλες επιλογές στην διάθεσή μας. :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης