IMC 2007/2/5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2007/2/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 30, 2017 10:57 am

Δίνεται θετικός ακέραιος k. Να βρεθεί ο ελάχιστος θετικός ακέραιος n_k ώστε να υπάρχουν n_k \times n_k πραγματικοί πίνακες A_1,\ldots,A_k οι οποίοι να ικανοποιούν τις πιο κάτω συνθήκες:

(1) \displaystyle{ A_1^2 = \cdots = A_k^2 = 0}

(2) A_iA_j = A_jA_i για κάθε 1 \leqslant i,j \leqslant k

(3) A_1 A_2 \cdots A_k \neq 0



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2007/2/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 31, 2017 1:02 pm

Θα αποδείξουμε ότι n_k = 2^k.

Για την ύπαρξη, έστω βάση του \mathbb{R}^{2^k} της οποίας τα στοιχεία αναπαριστούμε με k-ψήφιους δυαδικούς αριθμούς. Αν το στοιχείο v έχει το n-οστό ψηφίο 0, τότε το A_n v αντιστοιχεί στο ίδιο στοιχείο με το n-οστό ψηφίο 1. Αλλιώς A_n v = 0. Οι ζητούμενες ιδιότητες των πινάκων τώρα έπονται στοιχειωδώς (μεταθετικότητα, μηδενικό τετράγωνο). Το μη μηδενικό γινόμενο έπεται από το γεγονός A_1 \cdot \cdot \cdot A_k u \neq 0, όπου u το στοιχείο της βάσης με όλα τα ψηφία 0.

Για το ελάχιστο, για κάθε C \subseteq \{ A_1, ..., A_k \} = S ορίζουμε τον υπόχωρο V_C \subseteq \mathbb{R}^{n_k} ως V_C \equiv \left\{ \left( \prod_C A_i \right) u : u \in \mathbb{R}^{n_k} \right\}.

Παρατηρούμε ότι για κάθε C \subseteq S θα πρέπει να υπάρχει διάνυσμα v_c \in V_C που να μην ανήκει στον υπόχωρο που παράγεται από τα στοιχεία των V_{A_m}, A_m \notin C. Aλλιώς, το γινόμενο των πινάκων του S-C, λόγω μηδενικών τετραγώνων και μεταθετικότητας, μηδενίζει κάθε στοιχείο του V_C και το συνολικό γινόμενο των πινάκων του S θα είναι μηδενικό. Tο σύνολο \{v_c : C \subseteq S \}, πληθικότητας 2^k, θα είναι εκ κατασκευής γραμμικώς ανεξάρτητο. Έτσι, n_k \geqslant 2^k.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης