Putnam 2017/A2
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2017/A2
Έστω ακολουθία πολυωνύμων , ώστε , και
για κάθε
Να δειχθεί ότι κάθε πολυώνυμο της ακολουθίας έχει ακέραιους συντελεστές.
για κάθε
Να δειχθεί ότι κάθε πολυώνυμο της ακολουθίας έχει ακέραιους συντελεστές.
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Putnam 2017/A2
Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε ακέραιο ισχύει:
Θέτοντας στην παραπάνω σχέση όπου το , βρίσκουμε ότι:
για κάθε ακέραιο .
Επομένως, για κάθε ακέραιο ισχύει:
Συνεπώς, για κάθε θετικό ακέραιο είναι:
οπότε
και άρα, με επαγωγή στο , προκύπτει ότι το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές για κάθε θετικό ακέραιο .
Θέτοντας στην παραπάνω σχέση όπου το , βρίσκουμε ότι:
για κάθε ακέραιο .
Επομένως, για κάθε ακέραιο ισχύει:
Συνεπώς, για κάθε θετικό ακέραιο είναι:
οπότε
και άρα, με επαγωγή στο , προκύπτει ότι το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές για κάθε θετικό ακέραιο .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες