Putnam 2017/A2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2017/A2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Δεκ 04, 2017 10:27 am

Έστω ακολουθία πολυωνύμων (Q_n(x)), ώστε Q_0(x)=1, Q_1(x)=x, και

\displaystyle Q_n(x)=\frac{(Q_{n-1}(x))^2-1}{Q_{n-2}(x)} για κάθε n\geqslant 2.

Να δειχθεί ότι κάθε πολυώνυμο της ακολουθίας έχει ακέραιους συντελεστές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1379
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Putnam 2017/A2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Δεκ 04, 2017 3:45 pm

Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε ακέραιο n \ge 2 ισχύει:

\displaystyle {Q_n}\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{{Q_{n - 2}}\left( x \right)}} \Leftrightarrow {Q_n}\left( x \right){Q_{n - 2}}\left( x \right) - {\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)^2} =  - 1.

Θέτοντας στην παραπάνω σχέση όπου n το n+1, βρίσκουμε ότι:

\displaystyle {Q_{n + 1}}\left( x \right){Q_{n - 1}}\left( x \right) - {\left( {{Q_n}\left( x \right)} \right)^2} =  - 1

για κάθε ακέραιο n \ge 1.

Επομένως, για κάθε ακέραιο n \ge 2 ισχύει:

\displaystyle {Q_n}\left( x \right){Q_{n - 2}}\left( x \right) - {\left( {{Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right)^2} = {Q_{n + 1}}\left( x \right){Q_{n - 1}}\left( x \right) - {\left( {{Q_n}\left( x \right)} \right)^2} \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow {Q_n}\left( x \right)\left( {{Q_{n + 2}}\left( x \right) + {Q_n}\left( x \right)} \right) = {Q_{n - 1}}\left( x \right)\left( {{Q_{n + 1}}\left( x \right) + {Q_{n - 1}}\left( x \right)} \right) \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow \frac{{{Q_{n + 2}}\left( x \right) + {Q_n}\left( x \right)}}{{{Q_{n - 1}}\left( x \right)}} = \frac{{{Q_{n - 1}}\left( x \right) + {Q_{n + 1}}\left( x \right)}}{{{Q_n}\left( x \right)}}.

Συνεπώς, για κάθε θετικό ακέραιο n είναι:

\displaystyle \frac{{{Q_{n - 1}}\left( x \right) + {Q_{n + 1}}\left( x \right)}}{{{Q_n}\left( x \right)}} = \frac{{{Q_0}\left( x \right) + {Q_2}\left( x \right)}}{{{Q_1}\left( x \right)}} = \frac{{1 + {x^2} - 1}}{x} = x,

οπότε

\displaystyle {Q_{n + 1}}\left( x \right) = x{Q_n}\left( x \right) - {Q_{n - 1}}\left( x \right)

και άρα, με επαγωγή στο n, προκύπτει ότι το πολυώνυμο \displaystyle {Q_n}\left( x \right) έχει ακέραιους συντελεστές για κάθε θετικό ακέραιο n.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης