Σελίδα 1 από 1

Putnam 2017/B1

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 08, 2017 2:34 pm
από Demetres
Δίνονται διακεκριμένες ευθείες L_1 και L_2 στο επίπεδο. Να δειχθεί ότι οι L_1 και L_2 τέμνονται αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό \lambda\ne 0, και κάθε σημείο P εκτός των L_1 και L_2, υπάρχει σημείο A_1 στην L_1, και A_2 στην L_2, ώστε \overrightarrow{PA_2}=\lambda\overrightarrow{PA_1}.

Re: Putnam 2017/B1

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 08, 2017 7:52 pm
από Mihalis_Lambrou
Demetres έγραψε:
Παρ Δεκ 08, 2017 2:34 pm
Δίνονται διακεκριμένες ευθείες L_1 και L_2 στο επίπεδο. Να δειχθεί ότι οι L_1 και L_2 τέμνονται αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό \lambda\ne 0, και κάθε σημείο P εκτός των L_1 και L_2, υπάρχει σημείο A_1 στην L_1, και A_2 στην L_2, ώστε \overrightarrow{PA_2}=\lambda\overrightarrow{PA_1}.
Χάνω κάτι; Οι ασκήσεις στον Putnam είναι πολύ δύσκολες. Πώς ξέφυγε ετούτη που είναι ρουτίνας;

Υπάρχουν διάφορες λύσεις με διανύσματα, αλλά θα δώσω μία με Αναλυτική για να δείξω την ρουτίνα.

α) (Μη παράλληλη περίπτωση). Οι ευθείες είναι y=ax+b, \, y=Ax+B, αντίστοιχα, με a\ne A. Ψάχνουμε σημεία (t, at+b), \, (s,As+B) ώστε για δοθέν P(p,q) να ισχύει \overrightarrow{PA_2}=\lambda\overrightarrow{PA_1}, ισοδύναμα (s-p, As+B-q)= \lambda (t-p, at+b-q) \, (*). Το σύστημα ως προς s,t που προκύπτει έχει ορίζουσα \lambda (A-a) \ne 0. Τελειώσαμε!

β) (Παράλληλες). Εδώ a=A και, για να μην συμπίπτουν οι ευθείες, είναι b\ne B. Ψάχνουμε \lambda \ne 0, \, P(p,q) ώστε να έχουμε ανισότητα στην (*) για όλες τις επιλογές των s,t. Παίρνουμε \lambda =1. Αν s\ne t τότε οι πρώτες συντεταγμένες στα διανύσματα της (*) είναι διαφορετικές. Αν s=t , τότε οι δεύτερες συντεταγμένες στα διανύσματα της (*) είναι διαφορετικές. Σε κάθε περίπτωση, δεν ισχύει η ισότητα στην (*).

Re: Putnam 2017/B1

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 09, 2017 10:41 am
από Demetres
Μιχάλη, οι Α1 και Β1 πάντα είναι σχετικά εύκολες.

Εγώ, υποθέτοντας πως οι πράξεις θα ήταν πιο δύσκολες, το έκανα ως εξής:

Οι αφινικοί μετασχηματισμοί διατηρούν σταθερό τον λόγο των αποστάσεων στην ίδια ευθεία. Με αφινικό μετασχηματισμό μπορώ να μεταφέρω οποιαδήποτε τρία μη συνευθειακά σημεία σε οποιαδήποτε άλλα μη συνευθειακά σημεία θέλω. Παίρνοντας το σημείο τομής των ευθειών και από ένα σημείο σε κάθε ευθεία μπορώ να μεταφέρω τις δύο ευθείες στους άξονες των x και y αντίστοιχα. Έστω P=(a,b).

Τότε αν A_1=(x,0) και A_2 =(0,y) θέλω (-a,y-b) = \lambda (x-a,-b) οπότε αρκεί να πάρω x = a-a/\lambda και y = b-b\lambda

Παρατηρώ επίσης ότι δεν είναι απαραίτητο το P να είναι εκτός των ευθειών.

Η περίπτωση όπου οι ευθείες είναι παράλληλες είναι σχεδόν τετριμμένη. Π.χ. αν το P είναι μεταξύ των ευθειών τότε δεν μπορώ να έχω \lambda >0.