Putnam 2017/B3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2017/B3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm

Στην δυναμοσειρά

\displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^\infty c_ix^i

όλοι οι συντελεστές c_i ισούνται με 0 ή 1. Αν f(2/3) = 3/2, να δειχθεί ότι ο f(1/2) είναι άρρητος.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Putnam 2017/B3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 10, 2017 4:23 pm

Demetres έγραψε:
Κυρ Δεκ 10, 2017 12:11 pm
Στην δυναμοσειρά

\displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^\infty c_ix^i

όλοι οι συντελεστές c_i ισούνται με 0 ή 1. Αν f(2/3) = 3/2, να δειχθεί ότι ο f(1/2) είναι άρρητος.

Τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει. Α ναι, είναι παραλλαγή αλλά με ουσιαστικά την ίδια λύση με τo πρώτο θέμα στον διαγωνισμό SEEMOUS 2007, βλέπε εδώ . Εν γένει δεν έχω μνήμη για τέτοια θέματα, αλλά στον συγκεκριμένο διαγωνισμό ήμουν στην (μονομελή) επιτροπή "problem committee". Αυτά δεν ξεχνιούνται γιατί είχα δουλέψει πολύ. Για την συγκεκριμένη άσκηση θυμάμαι ότι είχα δώσει καλύτερη λύση από την προτεινόμενη του κατασκευαστή.

Στο παραπάνω:

Έστω ότι f(1/2) ρητός, οπότε στο δυαδικό του ανάπτυγμα (που προκύπτει από την δοθείσα σειρά), θα είχαμε περιοδικότητα των συντελεστών από ένα σημείο και πέρα. Άρα υπάρχουν πολυώνυμα P,Q με συντελεστές 0,1 τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) = P(x) + (1+ x^N + x^{2N}+... )Q(x) =    P(x) + \frac {Q(x)}{1-x^N}}

Για x=2/3 το αριστερό μέλος ισόυται (δίνεται) 3/2. Όμως το δεξί, κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα χωριστά στα P,Q και προσθέτοντας, είναι της μορφής \displaystyle{ \frac {A}{3^M} +  \frac {B}{(3^N-2^N)3^K} } με ακέραια A,B. Πολλαπλασιάζοντας τώρα από το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο E των δύο παρονομαστών δεξιά, που είναι περιττός αριθμός, έπεται \displaystyle{ \frac {3E}{2}=} ακέραιος. Άτοπο, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες