SEEMOUS 2018/4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
SEEMOUS 2018/4
(α) Έστω πολυωνυμική συνάρτηση . Να δειχθεί ότι
(β) Έστω συνάρτηση η οποία έχει ανάπτυγμα Taylor στο με άπειρη ακτίνα σύγκλισης. Να δειχθεί ότι αν το συγκλίνει απόλυτα, τότε και το συγκλίνει, και
(β) Έστω συνάρτηση η οποία έχει ανάπτυγμα Taylor στο με άπειρη ακτίνα σύγκλισης. Να δειχθεί ότι αν το συγκλίνει απόλυτα, τότε και το συγκλίνει, και
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: SEEMOUS 2018/4
α)Με μια παραγοντική είναι
Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι
Επειδή
μια ολοκλήρωση μας δίνει το συμπέρασμα.
β)Θα χρησιμοποιήσω βαριά εργαλεία.
Θέτουμε
Είναι
Εστω
Η είναι καλά ορισμένη διότι η ακολουθία
είναι φραγμένη.
Εστω
Από το α) είναι
Είναι φανερό ότι η είναι αύξουσα στο
και κατά σημείο έχουμε
Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue έχουμε ότι
Ετσι η είναι ολοκληρώσιμη (Lebesgue)
Θέτουμε
Εχουμε ότι
και κατά σημείο .
Το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης του Lebesgue καθώς και το α) μας δίνουν το συμπέρασμα.
Παρατήρηση.
Το ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι προκύπτει άμεσα από το ότι η σειρά
συγκλίνει.
Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι
Επειδή
μια ολοκλήρωση μας δίνει το συμπέρασμα.
β)Θα χρησιμοποιήσω βαριά εργαλεία.
Θέτουμε
Είναι
Εστω
Η είναι καλά ορισμένη διότι η ακολουθία
είναι φραγμένη.
Εστω
Από το α) είναι
Είναι φανερό ότι η είναι αύξουσα στο
και κατά σημείο έχουμε
Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue έχουμε ότι
Ετσι η είναι ολοκληρώσιμη (Lebesgue)
Θέτουμε
Εχουμε ότι
και κατά σημείο .
Το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης του Lebesgue καθώς και το α) μας δίνουν το συμπέρασμα.
Παρατήρηση.
Το ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι προκύπτει άμεσα από το ότι η σειρά
συγκλίνει.
Re: SEEMOUS 2018/4
Το (β) με κάπως ελαφρότερα εργαλεία.
Για κάθε , η ακολουθία συγκλίνει ομοιόμορφα στο από κριτήριο Weierstrass (οι όροι φράσσονται από την με άθροισμα που συγκλίνει). Έτσι, .
Εξετάζουμε την ακολουθία συναρτήσεων .
Αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο λόγω κριτηρίου Weierstrass. Πράγματι, και .
Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, αφού υπάρχει το όριο , αυτό θα ισούται με .
Για κάθε , η ακολουθία συγκλίνει ομοιόμορφα στο από κριτήριο Weierstrass (οι όροι φράσσονται από την με άθροισμα που συγκλίνει). Έτσι, .
Εξετάζουμε την ακολουθία συναρτήσεων .
Αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο λόγω κριτηρίου Weierstrass. Πράγματι, και .
Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, αφού υπάρχει το όριο , αυτό θα ισούται με .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες