Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

#1

Έστω αυστηρώς φθίνουσα συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle f(f(x))^4 - f(f(x)) + f(x) = 1$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές (πεπερασμένες ή άπειρες) του

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) - \lim_{x \to +\infty} f(x)$

dement · #2

Αυτό είχε μείνει.

Το δεδομένο μπορεί να διατυπωθεί και ως:

Για κάθε $x \in f(\mathbb{R})$ ισχύει $f(x)^4 - f(x) = 1-x \Leftrightarrow (g \circ f) (x) = 1-x$ , όπου $g(x) \equiv x^4 - x$ .

Η

έχει ολικό ελάχιστο στο $4^{-1/3}$ με τιμή $-3 \cdot 4^{-4/3}$ . Έτσι, για κάθε $x \in f(\mathbb{R})$ θα ισχύει ότι το $f(x) \in g^{-1} (1-x)$ θα είναι είτε μεγαλύτερο ή ίσο του $4^{-1/3}$ ("άνω κλάδος") είτε μικρότερο ή ίσο του $4^{-1/3}$ ("κάτω κλάδος"). Αλλά το $f(\mathbb{R})$ είναι διάστημα θετικού μέτρου. Έτσι, για να διασφαλιστεί η μονοτονία, πρέπει να επιλεγεί ο άνω κλάδος. Στο εξής θεωρούμε $g(x) \equiv x^4 - x$ με πεδίο ορισμού $[4^{-1/3}, + \infty)$ και $h \equiv g^{-1} \circ (1-x)$ . Επομένως f(f(x)) = h(f(x))

.

Προφανώς το $f(\mathbb{R})$ είναι φραγμένο άνω, οπότε $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = L \in \mathbb{R}$ . Αν $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \infty$ , τότε $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} h(x) = +\infty$ (άτοπο). Επομένως $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = l \in \mathbb{R}$ και $f(\mathbb{R}) = (l, L), \ l, L \in \mathbb{R}$ .

Πρέπει και αρκεί να ισχύει l < h(L) < h(l) < L

. Το "πρέπει" είναι προφανές από τη μονοτονία. Για το "αρκεί", παρατηρούμε ότι, με τις κατάλληλες τιμές στο (l,L)

( $f(x) \equiv h(x)$ ), μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε γνησίως φθίνοντα τμήματα στο $(- \infty, l]$ (με τιμές στο [h(l), L)

) και στο $[L, + \infty)$ (με τιμές στο (l, h(L)]

).

Αφού h(L) < L

, έπεται ότι L > 1

(το μόνο σταθερό σημείο της φθίνουσας

). Έτσι, $L \in (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}]$ . Επιλέγοντας l < h(L)

, επαληθεύουμε τη συνθήκη l < h(L) < h(l)

. Απομένει να επαληθευτεί η $h(l) < L \Leftrightarrow l > h^{-1} (L)$ . Διαπιστώνουμε ότι $h^{-1} (x) < h(x)$ για κάθε $x \in (1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}]$ (επειδή οι $h, h^{-1}$ είναι κοίλες, $h(1) = h^{-1}(1)$ και $\displaystyle \frac{h(1+3 \cdot 4^{-4/3}) - h(1)}{3 \cdot 4^{-4/3}} > (h^{-1})' (1)$ . Αρκεί λοιπόν $l \in \left( h^{-1}(L), h(L) \right)$ .

Έτσι, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή για το

από το $(1, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3}]$ , επιλέγοντας συγχρόνως το

από το $\left( h^{-1}(L), h(L) \right)$ . Αφού $h^{-1}(L) < h(L) < L$ και $\displaystyle \lim_{L \to 1^+} h(L) = \lim_{L \to 1^+} h^{-1} (L) = 1$ , το L - l

ανήκει στο $\left( 0, 1 + 3 \cdot 4^{-4/3} - h^{-1} (1 + 3 \cdot 4^{-4/3}) \right) = \left( 0, (1 + 3 \cdot 4^{-4/3})^4 - 1 \right)$ .

Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Re: Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Μέλη σε σύνδεση