Vojtec Jarnik 2018/4 Category I
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Vojtec Jarnik 2018/4 Category I
Έστω αυστηρώς φθίνουσα συνεχής συνάρτηση ώστε
για κάθε . Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές (πεπερασμένες ή άπειρες) του
για κάθε . Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές (πεπερασμένες ή άπειρες) του
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Vojtec Jarnik 2018/4 Category I
Αυτό είχε μείνει.
Το δεδομένο μπορεί να διατυπωθεί και ως:
Για κάθε ισχύει , όπου .
Η έχει ολικό ελάχιστο στο με τιμή . Έτσι, για κάθε θα ισχύει ότι το θα είναι είτε μεγαλύτερο ή ίσο του ("άνω κλάδος") είτε μικρότερο ή ίσο του ("κάτω κλάδος"). Αλλά το είναι διάστημα θετικού μέτρου. Έτσι, για να διασφαλιστεί η μονοτονία, πρέπει να επιλεγεί ο άνω κλάδος. Στο εξής θεωρούμε με πεδίο ορισμού και . Επομένως .
Προφανώς το είναι φραγμένο άνω, οπότε . Αν , τότε (άτοπο). Επομένως και .
Πρέπει και αρκεί να ισχύει . Το "πρέπει" είναι προφανές από τη μονοτονία. Για το "αρκεί", παρατηρούμε ότι, με τις κατάλληλες τιμές στο (), μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε γνησίως φθίνοντα τμήματα στο (με τιμές στο ) και στο (με τιμές στο ).
Αφού , έπεται ότι (το μόνο σταθερό σημείο της φθίνουσας ). Έτσι, . Επιλέγοντας , επαληθεύουμε τη συνθήκη . Απομένει να επαληθευτεί η . Διαπιστώνουμε ότι για κάθε (επειδή οι είναι κοίλες, και . Αρκεί λοιπόν .
Έτσι, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή για το από το , επιλέγοντας συγχρόνως το από το . Αφού και , το ανήκει στο .
Το δεδομένο μπορεί να διατυπωθεί και ως:
Για κάθε ισχύει , όπου .
Η έχει ολικό ελάχιστο στο με τιμή . Έτσι, για κάθε θα ισχύει ότι το θα είναι είτε μεγαλύτερο ή ίσο του ("άνω κλάδος") είτε μικρότερο ή ίσο του ("κάτω κλάδος"). Αλλά το είναι διάστημα θετικού μέτρου. Έτσι, για να διασφαλιστεί η μονοτονία, πρέπει να επιλεγεί ο άνω κλάδος. Στο εξής θεωρούμε με πεδίο ορισμού και . Επομένως .
Προφανώς το είναι φραγμένο άνω, οπότε . Αν , τότε (άτοπο). Επομένως και .
Πρέπει και αρκεί να ισχύει . Το "πρέπει" είναι προφανές από τη μονοτονία. Για το "αρκεί", παρατηρούμε ότι, με τις κατάλληλες τιμές στο (), μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε γνησίως φθίνοντα τμήματα στο (με τιμές στο ) και στο (με τιμές στο ).
Αφού , έπεται ότι (το μόνο σταθερό σημείο της φθίνουσας ). Έτσι, . Επιλέγοντας , επαληθεύουμε τη συνθήκη . Απομένει να επαληθευτεί η . Διαπιστώνουμε ότι για κάθε (επειδή οι είναι κοίλες, και . Αρκεί λοιπόν .
Έτσι, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή για το από το , επιλέγοντας συγχρόνως το από το . Αφού και , το ανήκει στο .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες