Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#1

Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle 17^x + 2^x = 11^x + 2^{3x}$

AlexandrosG · #2

Γράφουμε την εξίσωση ως $\displaystyle{8^x-2^x=17^x-11^x}$ . Παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει λύσεις x=0,x=1

. Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Έστω $x \neq 0,x \neq 1$ μια πραγματική λύση της εξίσωσης. Θεωρούμε την συνάρτηση T(a)=(8+a)^x-(2+a)^x

με πεδίο ορισμού $(-1,+\infty)$ . Εφόσον η εξίσωση έχει λύση, έχουμε T(0)=T(9)

. Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη με $T'(a)=x(8+a)^{x-1}-x(2+a)^{x-1}$ . Από το θεώρημα Rolle υπάρχει $\xi \in (0,9)$ με $T'(\xi)=x(8+\xi)^{x-1}-x(2+\xi)^{x-1}=0$ . Aφού $x\neq 0,x \neq 1$ , παίρνουμε $8+\xi=2+\xi$ , άτοπο.

#3

Λίγο διαφορετικά:

Η συνάρτηση f_x(t) = t^x

έχει δεύτερη παράγωγη $x(x-1)t^{x-2}$ . Άρα η f_x(t)

είναι αυστηρά κυρτή για x < 0

και για

ενώ είναι αυστηρά κοίλη για 0 < x < 1

.

Άρα για x < 0

ή

από την ανισότητα Karamata έχουμε f_x(17) + f_x(2) > f_x(8) + f_x(11)

ενώ για

ισχύει η ανάποδη ανισότητα.

Οπότε ισότητα έχουμε μόνο για x=0,1

. (Απλός έλεγχος.)

#4

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Απρ 24, 2018 2:55 pm
Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle 17^x + 2^x = 11^x + 2^{3x}$

Έχω την ίδια άσκηση στην γενική της μορφή, a^x+b^x=c^x+d^x

με

για διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς a,b,c,d

, στο βιβλίο μου Επαναληπτικά Θέματα, σελίς 287. Παραθέτω συνοπτικά την λύση για την παραπάνω ειδική περίπτωση: 17^x-11^x=8^x-2^x

.

Από ΘΜΤ στην t^x

με

σταθερό και

μεταβλητό (παραγώγιση ως προς

) υπάρχουν $11<\xi <17, \, 2<\eta < 8$ (και άρα άνισα μεταξύ τους) με $(17-11)x\xi ^{x-1} = (8-2)x\eta ^{x-1}.$ Άρα $6x(\xi ^{x-1} -\eta ^{x-1})=0$ . Τελικά x=0

ή

.

Τσιαλας Νικολαος · #5

Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pm
Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?

Δεν νομίζω ότι είναι εύκολη.
Προφανώς δεν γνώριζαν αυτοί που έβαλαν τα θέματα ότι εμείς εδώ έχουμε ΄'ξεφύγει''.

Τσιαλας Νικολαος · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Απρ 25, 2018 1:11 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pm
Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?
Δεν νομίζω ότι είναι εύκολη.
Προφανώς δεν γνώριζαν αυτοί που έβαλαν τα θέματα ότι εμείς εδώ έχουμε ΄'ξεφύγει''.

Τι να πω δεν ξέρω... Η λύση που συζητάω με τα παιδιά είναι η λύση που πρότεινε ο κύριος Μιχάλης.

#8

Την άσκηση την έλυσαν 40 από τους 71 διαγωνιζόμενους. (Βάζω και αυτούς που πήραν 9 από τα 10.) Άρα για επίπεδα διαγωνισμού ήταν εύκολη αλλά όχι τετριμμένη. Από ένα πολύ σύντομο έλεγχο, φαίνεται ότι τα τελευταία χρόνια η πρώτη άσκηση έχει περίπου τον ίδιο βαθμό επιτυχίας.

Αν και είναι μεγάλη κουβέντα αυτή, στις Πανελλήνιες θεωρώ ότι όντως έχουν ξεφύγει τα πράγματα.

Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Μέλη σε σύνδεση