Πολλαπλό άθροισμα με όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n(n+5)} \sum_{k=1}^{n} \;\; \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}}$

dement · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 14, 2018 5:20 pm
Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n(n+5)} \sum_{k=1}^{n} \;\; \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}}$

Γράφουμε $\displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{n} \;\; \sum \limits_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \frac{2^k}{\left ( i_1+1 \right )\left ( i_2+1 \right )\cdots \left ( i_k+1 \right )}} = \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2}{k+1} \right)$ . Το αρχικό

δεν πρόκειται να μας χαλάσει το όριο, οπότε το κρατάμε.

Ισχύει $\displaystyle \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2}{k+1} \right) = \prod_{k=1}^n \left( \frac{k+3}{k+1} \right) = \frac{(n+2)(n+3)}{6}$ (τηλεσκοπικό γινόμενο).

Έτσι, τελικά το όριο είναι $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{(n+2)(n+3)}{6n(n+5)} = \frac{1}{6}$ .

Πολλαπλό άθροισμα με όριο

Πολλαπλό άθροισμα με όριο

Re: Πολλαπλό άθροισμα με όριο

Μέλη σε σύνδεση