IMC 2018/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2018/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 25, 2018 12:23 pm

Έστω ακολουθίες θετικών αριθμών (a_n)_{n=1}^{\infty} και (b_n)_{n=1}^{\infty}. Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

(α) Υπάρχει ακολουθία θετικών αριθμών (c_n)_{n=1}^{\infty} ώστε οι σειρές \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{c_n}} και \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{c_n}{b_n}} να συγκλίνουν.

(β) Η σειρά \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{\frac{a_n}{b_n}}} συγκλίνει.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2018/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Ιούλ 25, 2018 5:18 pm

( \Longrightarrow ) Αφού συγκλίνουν οι σειρές \displaystyle \frac{a_n}{c_n}, \frac{c_n}{b_n}, προφανώς θα συγκλίνει και ο αριθμητικός μέσος τους \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{a_n}{c_n} + \frac{c_n}{b_n} \right) (στον αριθμητικό μέσο των ορίων). Έτσι, από κριτήριο σύγκρισης, θα συγκλίνει και ο γεωμετρικός μέσος \displaystyle 0 \leqslant \sqrt{\frac{a_n}{b_n}} \leqslant \frac{1}{2} \left( \frac{a_n}{c_n} + \frac{c_n}{b_n} \right).

(\Longleftarrow) Θέτουμε c_n \equiv \sqrt{a_n b_n}. Έτσι, οι δύο σειρές ισούνται με την συγκλίνουσα \displaystyle \sqrt{\frac{a_n}{b_n}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: IMC 2018/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 25, 2018 6:11 pm

Ωραία ασκησούλα για πρώτο θέμα.

Αλλιώς το \Rightarrow.

Για κάθε N έχουμε από C-S

\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{\frac{a_n}{b_n}}}=  \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{\frac{a_n}{c_n}}} {\sqrt{\frac{c_n}{b_n}}} \le \left ( \sum_{n=1}^{N}{\frac{a_n}{c_n}} \right ) ^{\frac {1}{2} } \left ( \sum_{n=1}^{N}{\frac{c_n}{b_n}} \right ) ^{\frac {1}{2} }\le M (για κάποιο φράγμα M, λόγω σύγκλισης).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης