Σελίδα 1 από 1
IMC 2018/1/1
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 25, 2018 12:23 pm
από Demetres
Έστω ακολουθίες θετικών αριθμών
και
. Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
(α) Υπάρχει ακολουθία θετικών αριθμών
ώστε οι σειρές
και
να συγκλίνουν.
(β) Η σειρά
συγκλίνει.
Re: IMC 2018/1/1
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 25, 2018 5:18 pm
από dement
Αφού συγκλίνουν οι σειρές
, προφανώς θα συγκλίνει και ο αριθμητικός μέσος τους
(στον αριθμητικό μέσο των ορίων). Έτσι, από κριτήριο σύγκρισης, θα συγκλίνει και ο γεωμετρικός μέσος
.
Θέτουμε
. Έτσι, οι δύο σειρές ισούνται με την συγκλίνουσα
.
Re: IMC 2018/1/1
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 25, 2018 6:11 pm
από Mihalis_Lambrou
Ωραία ασκησούλα για πρώτο θέμα.
Αλλιώς το
.
Για κάθε
έχουμε από C-S
(για κάποιο φράγμα
, λόγω σύγκλισης).