IMC 2018/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2018/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 25, 2018 12:24 pm

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2018/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Ιούλ 26, 2018 2:55 am

Demetres έγραψε:
Τετ Ιούλ 25, 2018 12:24 pm
Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του;
Θα γράψω τη σκέψη που κρύβεται πίσω από τη λύση πρώτα: Προφανώς το σώμα θα είναι άπειρο διότι διαφορετικά οι 2 ομάδες δεν είναι ισοπληθικές, άρα ούτε ισόμορφες. Κοιτάμε τώρα να δούμε τι γίνεται σε ένα κλασικό παράδειγμα άπειρου σώματος, που είναι το \mathbb{R}. Η σχέση f(2x) = f^2(x) μας λέει πως λαμβάνονται μόνο θετικές τιμές από τον ισομορφισμό f, που είναι άτοπο. Βλέπουμε λοιπόν πως το κλειδί είναι στο να λαμβάνονται αντίθετες τιμές από την f ή στο να μπορεί το 2x να πάρει κάθε τιμή μέσα στο σώμα.

Πάμε τώρα στη λύση: Αν f είναι ο ισομορφισμός, είναι f(x) = f(x + 0) = f(x)f(0), οπότε πρέπει f(0) = 1. Παίρνω τώρα a με f(a) = -1. Τότε f(2a) = (-1)^2 = 1 = f(0), άρα 2a = 0. Άρα είτε a = 0 ή το a αντιστρέφεται και το σώμα έχει χαρακτηριστική 2. Στην πρώτη περίπτωση όμως έχουμε 1 = f(0) = f(a) = -1 οπότε πάλι έχουμε χαρακτηριστική 2. Tότε όμως 1 = f(0) = f(2x) = f^2(x) για κάθε x, οπότε f(x) = \pm 1 = 1 για κάθε x και άρα το σώμα θα είναι το σωμα με 2 στοιχεία, το οποίο δεν δουλεύει (όπως και κανενα πεπερασμένο σωμα, για το λόγο που αναφέραμε πιο πάνω).


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2018/1/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:30 am

Ήμουν σίγουρος ότι την είχα δει ξανά στο βιβλίο του Halmos "Linear Algebra Problem Book". Το μετροφύλλισα χθες χωρίς να βρω κάτι.

Σήμερα θυμήθηκα. Ήταν σε βιβλίο του Halmos αλλά όχι στο πιο πάνω. Είναι η άσκηση 10Β3 στο βιβλίο "Problems for Mathematicians, Young and Old".

Αντιγράφω την λύση μιας και είναι λίγο διαφορετική από του Νίκου:

Προφανώς το σώμα δεν μπορεί να είναι πεπερασμένο οπότε ας υποθέσουμε ότι είναι άπειρο.

Αν υπάρχει ισομορφισμός, τότε υπάρχει 1 προς 1 αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων με τάξη 2 προσθετικά και αυτών με τάξη 2 πολλαπλασιαστικά.

Οι λύσεις της x^2=1 είναι είτε 1 είτε 2 αναλόγως αν το σώμα έχει τάξη 2 ή όχι.
Οι λύσεις της 2x=0 είναι είτε άπειρες είτε 1 αναλόγως αν το σώμα έχει τάξη 2 ή όχι.

Οπότε δεν υπάρχει ισομορφισμός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης