IMC 2018/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2018/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 25, 2018 12:26 pm

Να βρεθούν όλοι οι ρητοί αριθμοί a ώστε ο πίνακας

\displaystyle \begin{pmatrix} 
    a       & -a & -1 & 0 \\ 
    a       & -a & 0 & -1 \\ 
    1  & 0 & a & -a\\ 
    0      & 1 & a &  -a 
\end{pmatrix}

να είναι το τετράγωνο ενός πίνακα με ρητά στοιχεία.

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2018/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Αύγ 01, 2018 4:25 pm

Κατ' αρχάς μια απαραίτητη διόρθωση: Το πρόβλημα αναφέρεται σε τετράγωνο πίνακα με ρητά στοιχεία, όχι ακέραια.

Έστω \displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -a & -1 & 0 \\ a & -a & 0 & -1 \\ 1 & 0 & a & -a \\ 0 & 1 & a & -a \end{pmatrix} και B^2 = A(a).

Μετά από πράξεις διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A(a) ισούται με \displaystyle \det (A - xI) = (x^2 + 1)^2. Έτσι, οι ιδιοτιμές του είναι οι \pm \mathrm{i} και ο B θα έχει ως ιδιοτιμή τουλάχιστον μία πρωτογενή όγδοη ρίζα της μονάδας, δηλαδή ρίζα του κυκλοτομικού πολυωνύμου x^4 + 1.

Αυτό είναι ανάγωγο στους ρητούς (π.χ. με κριτήριο Eisenstein στο (x+1)^4 + 1) και έτσι, λόγω βαθμού, αυτό πρέπει να είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του B. Έτσι, από το θεώρημα Cayley-Hamilton, πρέπει να ισχύει B^4 = A^2 = -I.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2a & 2a \\ 0 & -1 & -2a & 2a \\ 2a & -2a & -1 & 0 \\ 2a & -2a & 0 & -1 \end{pmatrix} και έτσι η μοναδική πιθανή λύση είναι a = 0.

Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι \displaystyle \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, οπότε το a = 0 είναι λύση.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2018/1/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 02, 2018 2:56 pm

Υπάρχει πίνακας με ακέραια στοιχεία .

Αν το δούμε σαν γραμμική απεικόνιση θα πρέπει

f^{2}(e_{1})=e_{3},f^{2}(e_{2})=e_{4},f^{2}(e_{3})=-e_{1},f^{2}(e_{4})=-e_{2},

Αν πάρω f(e_{1})=e_{2} αναγκαστικά θα είναι f(e_{2})=e_{3} .

αναγκαστικά f(e_{3})=e_{4} και

f(e_{4})=-e_{1}.

παίρνω έναν πίνακα με στοιχεία 0,1,-1

Αν πάρω f(e_{1})=e_{3} αναγκαστικά θα είναι f(e_{3})=e_{3} που προφανώς δεν οδηγεί σε πίνακα.


Αν πάρω f(e_{1})=e_{4} αναγκαστικά θα είναι f(e_{4})=e_{3} .

αναγκαστικά f(e_{3})=-e_{2} και

f(e_{2})=e_{1}.

παίρνω ακόμα έναν πίνακα.


Υπάρχουν τουλάχιστον 4 τέτοιοι πίνακες με ακέραια στοιχεία.

Οι

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &-1 \\ 1& 0 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0& 1 & 0 & 0\\ 0& 0& -1 & 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0 \end{pmatrix}

και οι αντίθετοι τους.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2018/1/3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 02, 2018 3:52 pm

Σωστός. Εγώ θεώρησα τον "παρόμοιο" πίνακα \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} που είναι τετράγωνο του \displaystyle \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ \end{pmatrix} και έπραξα κατ' αναλογία...


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2018/1/3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 04, 2018 4:50 pm

dement έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 4:25 pm
Κατ' αρχάς μια απαραίτητη διόρθωση: Το πρόβλημα αναφέρεται σε τετράγωνο πίνακα με ρητά στοιχεία, όχι ακέραια.
Σωστά. Η εκφώνηση μιλούσε για ρητά στοιχεία. Απολογούμαι για το λάθος :oops: αν και δεν επηρέαζε την τελική απάντηση. :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης